2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Как извлечь квадратный корень из многочлена?
Сообщение09.06.2012, 23:18 
Аватара пользователя
Рассмотрим следующую задачу: доказать, что уравнение $(x^2+1)(y^2+1)=z^2+1$ имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

Заметим, что $2\cdot 5=10, \quad 5\cdot 10=50, \quad 10\cdot 17=170$.

В общем случае, $(x^2+1)((x+1)^2+1)=x^4+2x^3+3x^2+2x+2=(x^2+x+1)^2+1$, таким образом получаем бесконечное семейство решений $(n, n+1, n^2+n+1)$.


Для решения этой задачи потребовалось извлечь квадратный корень из многочлена $x^4+2x^3+3x^2+2x+1$, что я осуществила интуитивно, просто подобрав подходящее значение и проверив его верность возведением в квадрат.

Существует ли алгоритм извлечения квадратного корня из многочлена, аналогично алгоритму извлечения квадратного корня из вещественного числа?

 
 
 
 Re: Как извлечь квадратный корень из многочлена?
Сообщение09.06.2012, 23:24 
Ktina, вот полный алгоритм:

Извлечь квадр. корень из первого члена; получится первый член корня.
Квадрат найденного члена вычесть из данного многочлена; составится первый остаток.
Первый член этого остатка разделить на удвоенный первый член корня; в частном получится второй член корня.
Сумму удвоенного первого члена корня со вторым умножить на второй член и произведение вычесть из первого остатка; составится второй остаток.
Первый член нового остатка разделить на удвоенный первнй член корня; в частном получится третий член корня.
Сумму удвоенного первого члена корня, удвоенного второго и третьего умножить на третий член и произведение вычесть из второго остатка; составится третий остаток.
Так продолжать далее, пока в остатке получится нуль (если действие возможно).

-- 09.06.2012, 23:29 --

(Оффтоп)

почему в таких случаях не воспользоваться интернетом, он же ведь для чего-то существует... 1-7 ссылки в Google, конечно не всегда, но проверять по-моему стоит, иногда полезно :-)

 
 
 
 Re: Как извлечь квадратный корень из многочлена?
Сообщение09.06.2012, 23:38 
Аватара пользователя
Keter в сообщении #582793 писал(а):
Ktina, вот полный алгоритм:

Извлечь квадр. корень из первого члена; получится первый член корня.
Квадрат найденного члена вычесть из данного многочлена; составится первый остаток.
Первый член этого остатка разделить на удвоенный первый член корня; в частном получится второй член корня.
Сумму удвоенного первого члена корня со вторым умножить на второй член и произведение вычесть из первого остатка; составится второй остаток.
Первый член нового остатка разделить на удвоенный первнй член корня; в частном получится третий член корня.
Сумму удвоенного первого члена корня, удвоенного второго и третьего умножить на третий член и произведение вычесть из второго остатка; составится третий остаток.
Так продолжать далее, пока в остатке получится нуль (если действие возможно).

-- 09.06.2012, 23:29 --

(Оффтоп)

почему в таких случаях не воспользоваться интернетом, он же ведь для чего-то существует... 1-7 ссылки в Google, конечно не всегда, но проверять по-моему стоит, иногда полезно :-)

Спасибо!

(Оффтоп)

В Сети я нашла следующие ответы:
1. сложить все углы любовного треугольника и разделить по ровну)))))
2. на терку
3. через интеграл
4. Топором, только топором!
5. лопатой
6. Не могу ответить у меня тока одночлен

 
 
 
 Re: Как извлечь квадратный корень из многочлена?
Сообщение09.06.2012, 23:39 
Ktina в сообщении #582797 писал(а):
Спасибо!

(Оффтоп)

В Сети я нашла следующие ответы:
1. сложить все углы любовного треугольника и разделить по ровну)))))
2. на терку
3. через интеграл
4. Топором, только топором!
5. лопатой
6. Не могу ответить у меня тока одночлен


(Оффтоп)

:D Весело, а что за сайт?

 
 
 
 Re: Как извлечь квадратный корень из многочлена?
Сообщение09.06.2012, 23:48 
Аватара пользователя
Keter в сообщении #582798 писал(а):

(Оффтоп)

:D Весело, а что за сайт?


(Оффтоп)


 
 
 
 Re: Как извлечь квадратный корень из многочлена?
Сообщение10.06.2012, 07:24 
Еще немного: topic33345.html
И еще где-то на AOPS мне что-то хорошее советовали, связанное с уравнением Пелля, но не найду навернное :-( Хотя попробую...
(однако, на aops нет поиска...)
Нашел другое: http://math.stackexchange.com/questions ... a21b21-c21

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group