Прямая сумма. Группа Галуа.

[Joker_vD]

Первый автоморфизм: оставить все на месте.
Второй автоморфизм: $\sqrt2\mapsto-\sqrt2$.
Третий автоморфизм: $\sqrt3\mapsto-\sqrt3$.
Четвертый автоморфизм: композиция второго и третьего.

[IPA47]

Я понимаю, что их четыре и они именно такие. Но допустим я определю два отображения:
Пусть $\sigma(\sqrt{2})=-\sqrt{2}$, $\tau(\sqrt{3})=-\sqrt{3}$.
Обозначим $1 - (\sqrt{3}+\sqrt{2})$, $2 - (\sqrt{2}-\sqrt{3})$, $3 - (\sqrt{3}-\sqrt{2})$, $4 - (-\sqrt{3}-\sqrt{2})$. Тогда с помощью данных отображений я могу тасовать все корни:
$\sigma(1,2,3,4)=(3,4,1,2)$
$\sigma^2{1,2,3,4}=(1,2,3,4)$
$\tau(1,2,3,4)=(2,1,4,3)$
$\tau^2(1,2,3,4)=(1,2,3,4)$
$\sigma\tau(1,2,3,4)=\tau\sigma(1,2,3,4)=(4,3,2,1)$

То есть получается, что группа Галуа состоит из элементов:$\{\tau,\sigma,\tau\sigma=\sigma\tau,\tau^2=\sigma^2\}$?. Имеем четыре элемента в группе Галуа. Если я правильно понимаю определение прямой суммы, то данная группа изоморфна двум группам порядка 2, ибо $2\cdot2$ как раз дает 4, то есть каждый элемент определен однозначно. Так ведь?