Прямая сумма. Группа Галуа.

[IPA47]

Помогите пожалуйста решить задачу:

Прямой сумме каких групп изоморфна группа Галуа расширения $\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})/\mathbb{Q}$?

Пытался сам решать, но что-то не получается. В нете не нашел нормальной информации про теорию/группу Галуа. Подскажите заодно пожалуйста, где нормально написано про эту тему и можно почитать? И в данной задаче, если даже я смогу что-то придумать, то надо ли будет доказывать для моей прямой суммы, что она действительно "прямая", ибо как я понял, главное отличие прямой суммы от обычной это то, что в ней каждый элемент определяется однозначно. Мне доказывать эту однозначность?

Расписывал расширение: $\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})/\mathbb{Q} = \{a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}|a, b, c, d \in \mathbb{Q}\}=\mathbb{Q}(\sqrt{2})+\mathbb{Q}(\sqrt{3})+\mathbb{Q}(\sqrt{6})$.
Но это кажется бред...(

[AV_77]

А зачем вы в интернете ищите, учебников нет?

В этой задаче, для начала можно степень расширения найти, а там уж и строение группы Галуа ясно будет.

[IPA47]

Так я не знаю какой учебник лучше взять. Если я приду в универскую библиотеку, то у меня спросят автора, а я и не знаю, какой автор и в каком учебнике нормально про это пишет. Может посоветуете авторов/учебники?

[AV_77]

Посмотрите, например, М.М. Постников, "Теория Галуа".

[Sonic86]

Есть также Кострикин, 3-й том - там теория Галуа немного покороче и более понятно тем, кто чисто дедуктивное изложение не любит.

[IPA47]

А можете пожалуйста подсказать, хотя бы вкратце, как найти степень расширения поля?

[IPA47]

я правильно понимаю, что $\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})/\mathbb{Q}$ представимо в виде множества элементов вида $\{a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}|a, b, c, d \in \mathbb{Q}\}$, а это можно записать как $\mathbb{Q}[\sqrt{2}, \sqrt{3}]/\mathbb{Q}$?

Верно ли, что мне надо перебрать все возможные варианты автоморфизмов, то есть тождественный автоморфизм и операция, меняющая знак при слагаемом, для каждого слагаемого. Проверить, какие из них является действительно автоморфизмами. Собственно, данные автоморфизмы и будут образовывать группу Галуа для данного расширения. Это, кстати, наверно надо будет доказать, построив таблицу перемножения различных циклов. Если даже это все отчасти верно, то каким образом мне потом доказывать изоморфизм? и как раскладывать на прямую сумму?

[AV_77]

IPA47 в сообщении #579436 писал(а):

я правильно понимаю, что $\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})/\mathbb{Q}$ представимо в виде множества элементов вида $\{a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}|a, b, c, d \in \mathbb{Q}\}$, а это можно записать как $\mathbb{Q}[\sqrt{2}, \sqrt{3}]/\mathbb{Q}$?

1) Зачем вы все на $\mathbb{Q}$ "делите"? Это совсем лишнее, просто $\mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3})$.
2) Да, элементы в таком виде можно представить.

IPA47 в сообщении #579436 писал(а):

Верно ли, что мне надо перебрать все возможные варианты автоморфизмов, то есть тождественный автоморфизм и операция, меняющая знак при слагаемом, для каждого слагаемого. Проверить, какие из них является действительно автоморфизмами. Собственно, данные автоморфизмы и будут образовывать группу Галуа для данного расширения. Это, кстати, наверно надо будет доказать, построив таблицу перемножения различных циклов. Если даже это все отчасти верно, то каким образом мне потом доказывать изоморфизм? и как раскладывать на прямую сумму?

Можно и перебирать. Но проще всего найти степень расширения, раз уж базис расширения у вас есть, и выяснить какой группой может быть группа Галуа (всего два варианта будет). Ну и выбрать нужную.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

На самом деле, вовсе не лишнее — это не "деление", а указание базового поля, которое расширяется. $Gal(\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)/\mathbb Q)$ — это группа автоморфизмов $\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)$, оставляющих на месте $\mathbb Q$. $Gal(\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)/\mathbb Q(\sqrt2))$ — это группа автоморфизмов $\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)$, оставляющих на месте $\mathbb Q(\sqrt2)$, и это совсем другая группа!

[AV_77]

Joker_vD в сообщении #579901 писал(а):

(Оффтоп)

На самом деле, вовсе не лишнее — это не "деление", а указание базового поля, которое расширяется. $Gal(\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)/\mathbb Q)$ — это группа автоморфизмов $\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)$, оставляющих на месте $\mathbb Q$. $Gal(\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)/\mathbb Q(\sqrt2))$ — это группа автоморфизмов $\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)$, оставляющих на месте $\mathbb Q(\sqrt2)$, и это совсем другая группа!

(Оффтоп)

Как бы в записи $\mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3})$ расширяемое поле уже указано, так что писать $\mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3}) / \mathbb{Q}$ совершенно бессмысленно. А судя по фразе

Цитата:

я правильно понимаю, что $\mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3}) / \mathbb{Q}$ представимо в виде множества элементов вида ...

имеется в виду именно это, а не группа Галуа. Для группы Галуа, конечно, согласен.

[IPA47]

Окей, я разобрался с расширением и понял, что $\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})/\mathbb{Q}$ это тоже самое, что $\mathbb{Q}[\sqrt{2}, \sqrt{3}]/\mathbb{Q}$, и это является расширением полинома $x^4+10x-1$. Следовательно, степень расширения равна 4. Что дальше? Как мне определить строение группы Галуа по степени расширения и определить изоморфную группу?

[Joker_vD]

Автоморфизм из группы Галуа однозначно определяется тем, как он тасует корни неприводимого многочлена, по которому строилось расширение. У вас четвертая степень — четыре автоморфизма. Выписываете их, смотрите, как работает композиция, соображаете, что это за группа такая. Много ли есть групп порядка четыре?

[IPA47]

корня действительно 4: $\sqrt{3}+\sqrt{2}$, $-\sqrt{3}-\sqrt{2}$, $-\sqrt{3}+\sqrt{2}$, $\sqrt{3}-\sqrt{2}$. Но почему 4 автоморфизма? разве не 2: $\sigma(\sqrt{3})=-\sqrt{3}$, $\tau(\sqrt{2})=-\sqrt{2}$? Т.к., например, $\sigma^{2}(\sqrt{3})=\sigma(-\sqrt{3})=-\sigma(\sqrt{3})=\sqrt{3}$, то есть данные отображения перебирают все возможные варианты корней.

[apriv]

IPA47 в сообщении #581915 писал(а):

корня действительно 4: $\sqrt{3}+\sqrt{2}$, $-\sqrt{3}-\sqrt{2}$, $-\sqrt{3}+\sqrt{2}$, $\sqrt{3}-\sqrt{2}$. Но почему 4 автоморфизма? разве не 2: $\sigma(\sqrt{3})=-\sqrt{3}$, $\tau(\sqrt{2})=-\sqrt{2}$? Т.к., например, $\sigma^{2}(\sqrt{3})=\sigma(-\sqrt{3})=-\sigma(\sqrt{3})=\sqrt{3}$, то есть данные отображения перебирают все возможные варианты корней.

То, что Вы обозначаете $\sigma$, пока что вообще не определено. У этого расширения есть несколько автоморфизмов, которые переводят $\sqrt{3}$ в $-\sqrt{3}$. Совершенно неизвестно, который из них Вы хотите назвать буквой $\sigma$.

[IPA47]

А разве в данной группе есть еще какие-то автоморфизмы кроме тех, что отображают элемент в себя или в противоположный элемент?
Не могу понять, так какое строение у данной группы, и чему-таки изоморфна данная группа, скажите пожалуйста?