Да, если
![$\mathbf f$ $\mathbf f$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/7/1/37132975c954b9df0bdd3cde61be11fa82.png)
уже есть векторное поле, то его градиент находить не надо, да это и невозможно.
Если
![$\mathbf f$ $\mathbf f$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/7/1/37132975c954b9df0bdd3cde61be11fa82.png)
-- градиент скалярной функции
![$-\frac 1 r$ $-\frac 1 r$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/8/3f86178ec9dacd87b90249d14611669b82.png)
, он равен
![$\frac{\mathbf r}{r^3}$ $\frac{\mathbf r}{r^3}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/f/72f2dcbdf0766c357c3350391b88626082.png)
.
Поток
![$\mathbf f$ $\mathbf f$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/7/1/37132975c954b9df0bdd3cde61be11fa82.png)
через сферу (произвольного радиуса) с центром в начале координат найти несложно. Найдем скалярное произведение с нормалью:
![$(\mathbf f, \mathbf n)=(\frac{\mathbf r}{r^3}, \frac{\mathbf r}{r})=\frac 1{r^2}$ $(\mathbf f, \mathbf n)=(\frac{\mathbf r}{r^3}, \frac{\mathbf r}{r})=\frac 1{r^2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/9/0/e908b46de973393e3afd0d4222a6625d82.png)
Заметьте, что скалярное произведение положительно, так как направление
![$\mathbf f$ $\mathbf f$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/7/1/37132975c954b9df0bdd3cde61be11fa82.png)
на сфере совпадает с направлением нормали (наружу).
А поток равен интегралу
![$(\mathbf f, \mathbf n)$ $(\mathbf f, \mathbf n)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/c/cbc7658bff0a52d45556c077561210ae82.png)
по сфере. Если вынести за интеграл
![$\frac 1{r^2}$ $\frac 1{r^2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/2/d32f290fdf0986724f444e6e9770ab1782.png)
, интеграл будет равен просто площади поверхности сферы, а поток будет
![$4\pi$ $4\pi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/6/4a69aabb89e6e0cc23abc48cea9ba5af82.png)
.
Хороший знак: поток не зависит от радиуса сферы.
Если бы скалярная функция была с противоположным знаком:
![$\frac 1 r$ $\frac 1 r$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/4/e74cfab67194a87c60df0edc7d86895682.png)
, тогда поток был бы
![$-4\pi$ $-4\pi$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/3/5d3aae6cea1b50fe4ecf0f638acdff6182.png)
. Но при этом градиент был бы
![$-\frac{\mathbf r}{r^3}$ $-\frac{\mathbf r}{r^3}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/c/e/fcef9102aca7374480a743df49e6c67282.png)