Поток векторного поля

[msmeshnoj]

Здравствуйте. Помогите,пожалуйста, разобраться с задачей, а то я совсем запутался:

Нужно найти поток векторного поля $\operatorname{grad} f$ через сферу $|x-e_{1}|=2$, где $f=\frac{r}{|r^3|}$.
Правильно ли я понимаю, что без разницы рассматривать такую сферу или единичную сферу с центром в начале координат?
Получил, что $\operatorname{grad}=(\frac{-x}{x^2+y^2+z^2},\frac{-y}{x^2+y^2+z^2},\frac{-z}{x^2+y^2+z^2})$, это правильно?
Если да, то получается, что вектора направлены внутрь сферы и скалярное произведение с нормалью $(n,v)=-1$.
А что дальше делать? Как найти сам поток? Ведь это интеграл или двойной интеграл...

[svv]

Давайте исправим ошибку в условии задачи, от чего и будет зависеть дальнейшее.

msmeshnoj в сообщении #581858 писал(а):

Нужно найти поток векторного поля $\operatorname{grad} f$ через сферу $|x-e_{1}|=2$, где $f=\frac{r}{|r^3|}$.

Судя по записи, $r$ в числителе дроби и $f$ -- векторы (иначе отчего бы не сократить $r$ ?):

$$\mathbf f=\frac{\mathbf r}{r^3}$$

Но градиент берется только от скалярной функции.
Наиболее вероятный вариант: векторная функция $\mathbf f=\frac{\mathbf r}{r^3}$ и есть градиент (от функции $-\frac 1 r$), т.е. градиент уже взят, и нужно найти не поток поля $\operatorname{grad}f$, а поток поля $\mathbf f$.

[msmeshnoj]

Да, извините, там должно быть поток этого векторного поля.
То есть получается, градиент находить не надо? А что требуется в этой задаче? Нужно посчитать интеграл по поверхности сферы?
Верно ли, что поток этого векторного поля будет равен $-4 \pi$?

[svv]

Да, если $\mathbf f$ уже есть векторное поле, то его градиент находить не надо, да это и невозможно.
Если $\mathbf f$ -- градиент скалярной функции $-\frac 1 r$, он равен $\frac{\mathbf r}{r^3}$.
Поток $\mathbf f$ через сферу (произвольного радиуса) с центром в начале координат найти несложно. Найдем скалярное произведение с нормалью:
$(\mathbf f, \mathbf n)=(\frac{\mathbf r}{r^3}, \frac{\mathbf r}{r})=\frac 1{r^2}$
Заметьте, что скалярное произведение положительно, так как направление $\mathbf f$ на сфере совпадает с направлением нормали (наружу).

А поток равен интегралу $(\mathbf f, \mathbf n)$ по сфере. Если вынести за интеграл $\frac 1{r^2}$, интеграл будет равен просто площади поверхности сферы, а поток будет $4\pi$.
Хороший знак: поток не зависит от радиуса сферы.

Если бы скалярная функция была с противоположным знаком: $\frac 1 r$, тогда поток был бы $-4\pi$. Но при этом градиент был бы $-\frac{\mathbf r}{r^3}$