Фундаментальное решение оператора (УМФ)

[Leon7Archer]

Добрый день!
Необходима некоторая помощь с задачей:
Найти фундаментальное решение оператора $\dfrac{\partial}{\partial t} + \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}$

Из определения ФР - нужно решить задачу:

$$(\dfrac{\partial}{\partial t} + \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}) E(x, t) = \delta(x, t)$$

Напрашивается применение преобразования Фурье $F_x$ к уравнению:

$$F_x[\dfrac{\partial E}{\partial t}] + F_x[\dfrac{\partial^2 E}{\partial x^2}] = F_x[\delta(x, t)]$$

Используя следующие преобразования:

$$F_x[\dfrac{\partial E}{\partial t}] = \dfrac{\partial}{\partial t} F_x[E]$$

$$F_x[\dfrac{\partial^2 E}{\partial x^2}] = -\xi^2 F_x[E]$$

$$F_x[\delta(x, t)] = F_x[\delta(x) \delta(t)] = 1(\xi) \delta(t)$$

и обозначая:

$$\tilde E(\xi, t) = F_x[E(x, t)] (\xi, t)$$

приходим к уравнению:

$$\dfrac{\partial \tilde E}{\partial t} - \xi^2 \tilde E = 1(\xi) \delta(t)$$

Теперь ссылаясь на известное ФР оператора $\frac{d}{dt} - a$, имеем:

$$\tilde E(\xi, t) = \theta(t) \exp(\xi^2 t)$$

Далее предполагается использовать обратное преобразование Фурье, но на этом возникают трудности. Быть может, рассуждения с самого начала некорректны, и следует искать другой способ?
Заранее благодарен

[Vince Diesel]

Все правильно. Только решений уравнения с $\delta(t)$ в правой части не одно, а много. Вот это, например, $-\theta(-t)\exp(\xi^2t)$ - тоже решение.

[Leon7Archer]

Vince Diesel
Ок, спасибо, теперь все в порядке. Я не учел, что использовал априори решение оператора $\frac{d}{dt} - a$ только при $t > 0$.