2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Фундаментальное решение оператора (УМФ)
Сообщение07.06.2012, 14:39 
Добрый день!
Необходима некоторая помощь с задачей:
Найти фундаментальное решение оператора $\dfrac{\partial}{\partial t} + \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}$

Из определения ФР - нужно решить задачу:
$$(\dfrac{\partial}{\partial t} + \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}) E(x, t) = \delta(x, t)$$

Напрашивается применение преобразования Фурье $F_x$ к уравнению:
$$F_x[\dfrac{\partial E}{\partial t}] + F_x[\dfrac{\partial^2 E}{\partial x^2}] = F_x[\delta(x, t)]$$
Используя следующие преобразования:
$$F_x[\dfrac{\partial E}{\partial t}] = \dfrac{\partial}{\partial t} F_x[E]$$
$$F_x[\dfrac{\partial^2 E}{\partial x^2}] = -\xi^2 F_x[E]$$
$$F_x[\delta(x, t)] = F_x[\delta(x) \delta(t)] = 1(\xi) \delta(t)$$
и обозначая:
$$\tilde E(\xi, t) = F_x[E(x, t)] (\xi, t)$$
приходим к уравнению:
$$\dfrac{\partial \tilde E}{\partial t} - \xi^2 \tilde E = 1(\xi) \delta(t)$$

Теперь ссылаясь на известное ФР оператора $\frac{d}{dt} - a$, имеем:
$$\tilde E(\xi, t) = \theta(t) \exp(\xi^2 t)$$
Далее предполагается использовать обратное преобразование Фурье, но на этом возникают трудности. Быть может, рассуждения с самого начала некорректны, и следует искать другой способ?
Заранее благодарен

 
 
 
 Re: Фундаментальное решение оператора (УМФ)
Сообщение07.06.2012, 18:26 
Все правильно. Только решений уравнения с $\delta(t)$ в правой части не одно, а много. Вот это, например, $-\theta(-t)\exp(\xi^2t)$ - тоже решение.

 
 
 
 Re: Фундаментальное решение оператора (УМФ)
Сообщение07.06.2012, 19:31 
Vince Diesel
Ок, спасибо, теперь все в порядке. Я не учел, что использовал априори решение оператора $\frac{d}{dt} - a$ только при $t > 0$.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group