Асимптотическая плоскость

[ewert]

Shtorm в сообщении #580949 писал(а):

А чем Вас не устраивает определение:

Не знаю как AKM (наверное, так же), а меня лично не устраивает бессмысленностью.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #580868 писал(а):

Вариант 1.
Плоскость $P$ называется асимптотической плоскостью поверхности $S$, если для любой плоскости $N\perp P$ прямая, образованная пересечением $N$ и $P$ , будет асимптотой кривой, образованной пересечением $N$ и $S$.

Вариант 2.
Плоскость $P$ называется асимптотической плоскостью поверхности $S$, если существует плоскость $N\perp P$, такая, что прямая, образованная пересечением $N$ и $P$ , будет асимптотой кривой, образованной пересечением $N$ и $S$.

Я было уже обрадовался, и хотел Вам поаплодировать и взять Ваше определение за наиболее адекватное, а потом подумал про гиперболические цилиндры. Если мы возьмём такую плоскость, что она будет перепендикулярна асимптотической и при этом будет пересекать гиперболический цилиндр, то на гиперболичеком цилиндре получится прямая, параллельная прямой, образованной пересечением асимптотической плоскости и перпендикулярной плоскости. А две параллельные прямые уж точно не будут являться асимптотами друг для друга.

[Shtorm]

AKM в сообщении #580933 писал(а):

....
Очевидно, асимптотическая плоскость есть, фиолетовое касание в бесконечности есть.

До меня только сейчас дошло, что приведённая Вами функция, удовлетворяет определению асимптотической плоскости, приведённому в Энциклопедии Брокгауза и Ефрона и тупо скопированному на сайты dic.academic.ru, www.wikiznanie.ru.
То есть, имеется плоскость, которая касается поверхности в бесконечно удалённой точке. Но, асиптотической плоскости-то нет! Ошибались Брокгауз и Ефрон.......или это я неправильно понимаю асимптотическую плоскость?

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #580957 писал(а):

Я было уже обрадовался, и хотел Вам поаплодировать и взять Ваше определение за наиболее адекватное

Ну так возьмите за основу, подправьте, замените "любую" или "хотя бы одну" на, например, "существует семейство параллельных плоскостей, такое что..." и поаплодируйте. Я же затравку дал для Вас, мне оно совсем не нужно. И мои не содержат неадекватностей вроде

Shtorm в сообщении #580949 писал(а):

при удалении линии вдоль поверхности в бесконечность

Может, Вы просто увлечённый вики-писатель, и нашли там незаполненную асимптотическую дыру?

[Shtorm]

Думал я тут, думал....необходимо всё же определиться с самим изучаемым объектом. Ведь одно дело функция $z=\frac {1}{x^2+y^2}$ в которой чётко снизу видна асимптотическая плоскость $z=0$ и другое дело $z=\frac {1}{x^2+y^2}+x^2$ в которой плоскости не видно, зато понятно, что узкая часть поверхности в направлении оси OY приближается к плоскости $z=0$ и следовательно удовлетворяет определению Брокгауза и Ефрона. Думаю, что для второй поверхности больше бы подошло понятие "асимптотическое направление поверхности". Ведь по сути к плоскости $z=0$ стремится только кривая $z=\frac {1}{y^2}$, а все остальные кривые лежащие на поверхности, не стремятся ни к одной плоскости.

[Алексей К.]

Может, с $z=\dfrac {1}{x^2+y^2}+\sqrt{1+x^2}$ веселее будет?

-- 06 июн 2012, 21:42:27 --

Shtorm в сообщении #581610 писал(а):

...необходимо всё же определиться с самим изучаемым объектом.

Ценная мысль, сразу и не заметил...

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #581622 писал(а):

Может, с $z=\dfrac {1}{x^2+y^2}+\sqrt{1+x^2}$ веселее будет?

Спасибо, Вы меня навели на дальнейшие рассуждения. В обеих этих функциях будем брать различные параллельные плоскости вида $x=h, где h = \operatorname{const}$ и рассматривать в сечении полученные кривые. Все эти кривые будут асимптотически приближаться к определённой прямой. При больших значениях h эти кривые будут постепенно вырождаться в прямые. Ну неважно. Будем рассматривать только те значения h, где чётко видны кривые, имеющие асимптоты. Получается если каждая кривая стремится к своей асимптоте, то можно сказать, что каждая кривая стремится к своей плоскости $z=C_{i}$!!!! Я был не прав. То есть плоскость, $z=0$ отличается от всех этих плоскостей лишь тем, что она занимает крайне нижнее положение из всех возможных плоскотей. Таким образом, ещё раз убеждаемся, что Ефрон и Брокгауз были неправы.

-- Ср июн 06, 2012 21:22:06 --

Алексей К. в сообщении #580868 писал(а):

Вариант 1.
Плоскость $P$ называется асимптотической плоскостью поверхности $S$, если для любой плоскости $N\perp P$ прямая, образованная пересечением $N$ и $P$ , будет асимптотой кривой, образованной пересечением $N$ и $S$.

Вариант 2.
Плоскость $P$ называется асимптотической плоскостью поверхности $S$, если существует плоскость $N\perp P$, такая, что прямая, образованная пересечением $N$ и $P$ , будет асимптотой кривой, образованной пересечением $N$ и $S$.

Таким образом, Вариант 1 отбрасываем, а Вариант 2 корректируем и получаем:
Плоскость $P$ называется асимптотической плоскостью поверхности $S$, если существует такое семейство параллельных плоскостей $N_{i}\perp P$, что прямая, образованная пересечением любой плоскости $N_{i}$ и $P$ , будет асимптотой кривой, образованной пересечением той же $N_{i}$ и $S$.

Аплодирую Вам Алексей К. и одновременно задаю вопрос

-- Ср июн 06, 2012 21:26:33 --

А чем Вас не устраивает определение:

"Асимптотическая плоскость - плоскость, обладающая тем свойством, что расстояние от точек некоторой линии, лежащей на поверхности, до этой плоскости стремится к нулю при удалении линии вдоль поверхности в бесконечность. Причём расстояния от всех точек этой линии до плоскости одинаковы, и линия не образована пересечением рассматриваемой поверхности и асимптотической плоскости."

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #581637 писал(а):

образованной пересечением той же $N_{i}$ и $S$.

Слова "той же" излишни. Стиль определений отличается от стиля, например, писем к возлюбленной: сухость, скупость (минимализм). Думать, например, надо --- "вдоль поверхности", или "по поверхности", или...

А по сути --- может кто умный раскритикует. Я в математике не особо... Индекс \color{blue}$_i$ тоже чем-то раздражает.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #581647 писал(а):

Shtorm в сообщении #581637 писал(а):

образованной пересечением той же $N_{i}$ и $S$.

Слова "той же" излишни. Стиль определений отличается от стиля, например, писем к возлюбленной: сухость, скупость (минимализм).

А по сути --- может кто умный раскритикует. Я в математике не особо... Но индекс \color{blue}$_i$ чем-то раздражает.

Да, это мы пока так, на скорую руку в черновом варианте. Потом подкорректируем. А подстрочный индекс i - очень распространён в математике.

"Я в математике не особо.."

Ну уж не прибедняйтесь, не прибедняйтесь

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #581650 писал(а):

А подстрочный индекс i - очень распространён в математике.

Это не повод, чтобы его впендюривать без объяснений. Мне, например, от него видится конечное множество плоскостей. Как в Фортране.

(Оффтоп)

Shtorm в сообщении #581650 писал(а):

Ну уж не прибедняйтесь, не прибедняйтесь

Есть разные уровни/степени дилетантизма. Сидя на второй, довольно легко критиковать человека с третьей-четвёртой.

[Shtorm]

Хорошо, давайте напишем:

"Асимптотическая плоскость - плоскость, обладающая тем свойством, что расстояние от точек некоторой линии, лежащей на поверхности, до этой плоскости стремится к нулю при удалении линии по поверхности в бесконечность. Причём расстояния от всех точек этой линии до плоскости одинаковы, и линия не образована пересечением рассматриваемой поверхности и асимптотической плоскости."

Можно теперь покритиковать или хоть как-то прокомментировать алгоритм и формулы?:
Ищём уравнение асимптотической плоскости в виде:
$z=k_{1}x+k_{2}y+b$

Вычисляем пределы: $k_{1}=\lim \limits_{x\to +\infty} \frac {f(x,y)}{x}$ и $k_{1}=\lim \limits_{x\to -\infty} \frac {f(x,y)}{x}$

Если хотя бы один из этих пределов существует, то идём дальше. А если в обоих пределах получились в ответе выражения, зависящие от y - то однозначно асимптотических плоскостей нет.

Вычисляем: $k_{2}=\lim \limits_{y\to +\infty} \frac {f(x,y)}{y}$ и $k_{2}=\lim \limits_{y\to -\infty} \frac {f(x,y)}{y}$

Если хотя бы один из этих пределов существует, то идём дальше. А если в обоих пределах получились в ответе выражения, зависящие от x - то однозначно асимптотических плоскостей нет.

Вычисляем
$b=\lim \limits_{\substack{x\to +\infty \\ y\to +\infty}}(f(x,y)-k_{1}x-k_{2}y) $

$b=\lim \limits_{\substack{x\to -\infty \\ y\to -\infty}}(f(x,y)-k_{1}x-k_{2}y) $

[Алексей К.]

Изучаемое свойство, хоть до сих пор и не определённое, всё же не особо связано с конкретной системой координат. Не должно исчезать при повороте поверхности. Потому, из самых общих ночных соображений, опора на пределы при выделенных направлениях $x,y\to\pm\infty$ выглядит подозрительно.

[Shtorm]

Ага, пока не забыл, скажу, что вышеописанные формулы и алгоритм соответствуют наклонным (в том числе горизонтальным асимптотическим плоскостям)

Алексей К. в сообщении #581669 писал(а):

Изучаемое свойство, хоть до сих пор и не определённое, всё же не особо связано с конкретной системой координат. Не должно исчезать при повороте поверхности. Потому, из самых общих ночных соображений, опора на пределы при выделенных направлениях $x,y\to\pm\infty$ выглядит подозрительно.

Ну так ведь, вертикальные асимптоты на плоскости тоже при повороте системы координат становятся горизонтальными или наклонными. Однако алгоритмы поиска вертикальных и наклонных асимптот отличаются. А при поиске наклонных асимптот также используется $x\to\pm\infty$. Так что, из самых общих утренних соображений, вышеописанные формулы по идее должны захватить свойства исследуемой поверхности для всех восьми октантов пространства. Ну и конечно, так называемые асимптотические направления (но не плоскости) могут остаться за бортом.

[Алексей К.]

ИСН в сообщении #580164 писал(а):

Функция двух (или "многих" - это смотря для кого курс) переменных имеет элементы существенной новизны,

Вот, подозреваю, Вы и нарываетесь на эти "элементы".

ewert в сообщении #580923 писал(а):

Асимптотическая прямая в одномерном случае полезна потому, что есть довольно много функций одной переменной, которые на бесконечности ведут себя в первом приближении линейно.

Для функций ну хотя бы даже и от двух переменных подобное поведение уже неестественно -- уж слишком много там разных бесконечностей.

Shtorm в сообщении #581752 писал(а):

Однако алгоритмы поиска вертикальных и наклонных асимптот отличаются

Наверное, лишь от того отличаются, что школьники-первокурсники ищут асимптоты графиков функций (а не плоских кривых). И прямые (искомые асимптоты) им рано параметризовать. Записать прямую параметрически, или $ax+by+c=0$, и плевать --- вертикальная она асимптота или горизонтальная. Ну, так в большинстве тех задачек было, когда я геометрию в детстве решать любил.

-- 07 июн 2012, 10:12:55 --

А может у Вас и правильно, не знаю... Я не люблю в 3D ходить... В обычном плоском лесу часто заблуживаюсь.

[Shtorm]

Прежде чем идти дальше в рассуждениях всё же необходимо ещё раз разобраться с поверхностями типа:
$z=\frac {1}{x^2+y^2}+x^2$ и $z=\frac {1}{x^2+y^2}+\sqrt {1+x^2}$

В Математической энциклопедии приведено понятие "асиптотическое направление".
Цитирую: "Асимптотическое направление - направление на регулярной поверхности, в котором кривизна нормального сечения поверхности равна нулю." Вот так на вскидку, будет ли направление по оси OY - асиптотическим направлением для вышеприведённых поверхностей?