Отделимость в топологических векторных пространствах

[xmaister]

Существует ли топологическое векторное пространство не являющееся $T_{3\frac{1}{2}}$- пространством? Если да, то хотелось бы на него посмотреть.

[Someone]

Если рассматривать топологии с аксиомами отделимости не хуже $T_1$, то не существует. Насчёт $T_0$ не знаю, лень думать.
Топологическое векторное пространство, во всяком случае, является топологической группой, а топологическая группа, удовлетворяющая аксиоме $T_1$, вполне регулярна.

Л.С.Понтрягин. Непрерывные группы. "Наука", Москва, 1973.

Доказательство можно найти в § 19, пункт F, теорема 10. Обратите внимание, что определение топологического пространства в книге включает аксиому $T_1$ (§ 8, определение 12, где пункт 1 равносилен аксиоме $T_1$).

[Someone]

Someone в сообщении #580834 писал(а):

Насчёт $T_0$ не знаю, лень думать.

Подумал. Для топологических групп из $T_0$ следует $T_1$.

Пусть $G$ - топологическая группа, $a,b\in G$ - два различных элемента, $V\subset G$ - открытое множество, содержащее $a$ и не содержащее $b$. Тогда $aV^{-1}b$ - открытое множество, содержащее $b$ и не содержащее $a$.

[xmaister]

Someone, понял, спасибо!

[lyuk]

1. Для ТВП вполне регулярность равносильна $T_1$.
Т.о., осталось рассмотреть случай не $T_1$-пространств.
2. Пусть $X$ -- не $T_1$-пространство. Пересечение $L$ всех ону есть подпространством пространства $X$. Фактор-пространство пространства $X$ по пространству $L$ уже будет $T_1$-простпанством, а значит, $T_{3\frac12}$-пространством. Легко видеть, что и $X$ будет $T_{3\frac12}$-пространством.