2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Отделимость в топологических векторных пространствах
Сообщение04.06.2012, 15:54 
Аватара пользователя
Существует ли топологическое векторное пространство не являющееся $T_{3\frac{1}{2}}$- пространством? Если да, то хотелось бы на него посмотреть.

 
 
 
 Re: Отделимость в топологических векторных пространствах
Сообщение04.06.2012, 19:33 
Аватара пользователя
Если рассматривать топологии с аксиомами отделимости не хуже $T_1$, то не существует. Насчёт $T_0$ не знаю, лень думать.
Топологическое векторное пространство, во всяком случае, является топологической группой, а топологическая группа, удовлетворяющая аксиоме $T_1$, вполне регулярна.

Л.С.Понтрягин. Непрерывные группы. "Наука", Москва, 1973.

Доказательство можно найти в § 19, пункт F, теорема 10. Обратите внимание, что определение топологического пространства в книге включает аксиому $T_1$ (§ 8, определение 12, где пункт 1 равносилен аксиоме $T_1$).

 
 
 
 Re: Отделимость в топологических векторных пространствах
Сообщение05.06.2012, 14:27 
Аватара пользователя
Someone в сообщении #580834 писал(а):
Насчёт $T_0$ не знаю, лень думать.
Подумал. Для топологических групп из $T_0$ следует $T_1$.

Пусть $G$ - топологическая группа, $a,b\in G$ - два различных элемента, $V\subset G$ - открытое множество, содержащее $a$ и не содержащее $b$. Тогда $aV^{-1}b$ - открытое множество, содержащее $b$ и не содержащее $a$.

 
 
 
 Re: Отделимость в топологических векторных пространствах
Сообщение05.06.2012, 19:34 
Аватара пользователя
Someone, понял, спасибо!

 
 
 
 Re: Отделимость в топологических векторных пространствах
Сообщение06.06.2012, 21:12 
1. Для ТВП вполне регулярность равносильна $T_1$.
Т.о., осталось рассмотреть случай не $T_1$-пространств.
2. Пусть $X$ -- не $T_1$-пространство. Пересечение $L$ всех ону есть подпространством пространства $X$. Фактор-пространство пространства $X$ по пространству $L$ уже будет $T_1$-простпанством, а значит, $T_{3\frac12}$-пространством. Легко видеть, что и $X$ будет $T_{3\frac12}$-пространством.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group