Если рассматривать топологии с аксиомами отделимости не хуже

, то не существует. Насчёт

не знаю, лень думать.
Топологическое векторное пространство, во всяком случае, является топологической группой, а топологическая группа, удовлетворяющая аксиоме

, вполне регулярна.
Л.С.Понтрягин. Непрерывные группы. "Наука", Москва, 1973.
Доказательство можно найти в § 19, пункт F, теорема 10. Обратите внимание, что определение топологического пространства в книге включает аксиому

(§ 8, определение 12, где пункт 1 равносилен аксиоме

).