Случай

отыскался в брошюре Гельфонда "Решение уравнений в целых числах" (М.: Наука, 1978) на стр. 57, куда я решил заглянуть на всякий случай после того, как сочинил собственное доказательство. Оно оказалось немного проще, чем у Гельфонда, поэтому я его приведу ниже.
Итак, предположим, что уравнение

разрешимо в натуральных числах

,

,

. Если простое

является общим делителем

и

, то

делится на

, откуда

делится на

. Но тогда

делится на

, и мы получаем меньшее решение

. Пусть теперь

. Тогда

и

нечётны, а

чётно,

. Имеем

Сомножители в правой части взаимно просты и имеют разную чётность. Если

чётно, то

и

для некоторых

,

. Но тогда

что невозможно по модулю 4. Если

чётно, то

и

для некоторых

,

. Значит,

откуда либо

и

, либо

и

для некоторых

,

. Но тогда

Нам осталось показать, что

. Действительно,

.