Случай
отыскался в брошюре Гельфонда "Решение уравнений в целых числах" (М.: Наука, 1978) на стр. 57, куда я решил заглянуть на всякий случай после того, как сочинил собственное доказательство. Оно оказалось немного проще, чем у Гельфонда, поэтому я его приведу ниже.
Итак, предположим, что уравнение
разрешимо в натуральных числах
,
,
. Если простое
является общим делителем
и
, то
делится на
, откуда
делится на
. Но тогда
делится на
, и мы получаем меньшее решение
. Пусть теперь
. Тогда
и
нечётны, а
чётно,
. Имеем
Сомножители в правой части взаимно просты и имеют разную чётность. Если
чётно, то
и
для некоторых
,
. Но тогда
что невозможно по модулю 4. Если
чётно, то
и
для некоторых
,
. Значит,
откуда либо
и
, либо
и
для некоторых
,
. Но тогда
Нам осталось показать, что
. Действительно,
.