обобщение скалярного произведения

[mich72]

lek в сообщении #579402 писал(а):

Бред...

а что я бредового написал?

-- 01.06.2012, 14:35 --

nnosipov в сообщении #579417 писал(а):

Ну и каша. Вы знакомы с правилами русского языка?

а что я подлежащее со сказуемым местами переставил? если вы не можете читать многосложные предложения - не читайте.

[nnosipov]

Munin в сообщении #579409 писал(а):

Да, поэтому не говорят "изотропное пространство" или "неизотропное пространство"

Но вполне можно говорить об изотропном (относительно заданного скалярного произведения, которое уже не предполагается положительно определённым) подпространстве.

[Toucan]

mich72, тема перемещена в Карантин.

Запишите формулы во всех своих сообщениях в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

[AKM]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[mich72]

nnosipov в сообщении #579417 писал(а):

Вы не можете даже внятно сформулировать свой вопрос

вопрос вполне конкретно поставлен в моём первом сообщении. могу ещё конкретнее.
принимаем в качестве эталона для измерения не единичный квадрат, а произвольный ромб с единичной стороной. то есть теперь все площади будем измерять в долях площади этого ромба. какая будет формула для определения площади произвольного треугольника? только формулу нужно получить без использования тригонометрических формул. можно вводить другие характеристики, не опирающиеся на понятия прямого угла.

[Munin]

Пока в двумерном векторном пространстве не введено скалярного произведения, в нём нет ни квадратов, ни ромбов, потому что нет ни длин, ни углов. Есть только параллелограммы.

У вас проглядывают следы путаницы между терминологией математики и физики, скорее всего свидетельствующие о путанице между методологией математики и физики. В физике есть наблюдаемые величины, из которых строится теория. В математике нет. В математике есть аксиомы, из которых строится теория, и есть иерархия таких теорий. Например, есть просто линейная алгебра на векторном пространстве. А есть линейная алгебра на векторном пространстве со скалярным произведением. Только вторая сопоставляется со "школьной" геометрией, листом бумаги, и интуитивно-наглядными стрелочками - направленными отрезками. Первая - более абстрактная, чтобы её рассматривать, надо совершить мысленно вычитание: убрать из геометрии всё, связанное с количественными мерами длин и углов. Точнее, длин, отложенных на прямых, идущих в разных направлениях. Две длины, отложенные на одной, или параллельных прямых, сравнивать между собой можно. Можно сравнивать между собой специально ориентированные углы, например, заметить равенство вертикальных углов, или то, что смежные углы образуют развёрнутый.

Площадь в такой геометрии всё ещё есть. Для параллелограмма она определяется определителем

$$\left|\begin{array}{cc}a_x&a_y\\b_x&b_y\end{array}\right|=a_xb_y-a_yb_x.$$

Для треугольника, соответственно, половина от этого выражения. Она выражается не в "квадратных сантиметрах", а в единицах "единица по оси $x$ $\times$ единица по оси $y$". Она, между прочим, имеет знак, то есть если взять левоориентированную пару векторов, площадь на них окажется натянута отрицательная. Впрочем, никто не мешает взять от неё модуль.

Пример такой геометрии, и заодно практического применения такой геометрии: плоскость двух неоднородных физических величин, например, плоскость $P\text{-}V$ в термодинамике. Площадь на ней соответствует работе.

-- 02.06.2012 12:02:42 --

nnosipov в сообщении #579426 писал(а):

Но вполне можно говорить об изотропном (относительно заданного скалярного произведения, которое уже не предполагается положительно определённым) подпространстве.

Это в другом смысле термина "изотропный", которого mich72, скорее всего, не знает.

[mich72]

Munin, спасибо за ответ. стало понятнее

[nnosipov]

Munin в сообщении #579766 писал(а):

Площадь в такой геометрии всё ещё есть. Для параллелограмма она определяется определителем

$$\left|\begin{array}{cc}a_x&a_y\\b_x&b_y\end{array}\right|=a_xb_y-a_yb_x.$$

Это про какую геометрию идёт речь --- со скалярным произведением или без?

[Munin]

nnosipov в сообщении #579843 писал(а):

Это про какую геометрию идёт речь --- со скалярным произведением или без?

Без. А что, я что-то неправильно написал?

[nnosipov]

В этой формуле присутствуют координаты ($a_x$ и т.д.) в каком-то фиксированном базисе двумерного векторного пространства. При смене базиса координаты изменятся и значение определителя, вообще говоря, тоже. Это значит, что некоторый базис пространства (а именно, тот, в котором мы берём координаты для нашей формулы) является привилегированным. И стоит только назвать его ортонормированным, как тотчас же возникает скалярное произведение. Иными словами, фактически скалярное произведение есть. Со всеми своими бонусами: длинами, углами и площадями. В частности, в исходную формулу для площади теперь уже можно подставлять координаты в произвольном ортонормированном базисе. Более того, появится возможность вычислять площадь бескоординатным способом --- через определитель Грама. (Именно так возникает формула Герона для площади треугольника и её трёхмерный аналог, позволяющий вычислить объём тетраэдра, зная лишь длины его шести рёбер.)

[Munin]

Хорошо, я понял. Я подразумевал, что площадь определена в таком виде именно в этом фиксированном базисе. В других базисах она будет выражаться иначе, разумеется.

Вообще, корректно говорить, что задание площади есть тоже добавление к плоскости некоторой структуры - но не структуры скалярного произведения, а (для 2 измерений) симплектической формы. Тогда формула площади будет преобразовываться между базисами, как эта симплектическая форма (для $n$ измерений - соответственно, полностью антисимметрическая $n$-форма - символ Леви-Чивиты). Правда, всё это преобразование будет сводиться к изменению численного множителя. Обычно структуру $n$-объёма не рассматривают отдельно (симплектическая геометрия занимается другим, более интересным случаем кососимметричной 2-формы в $2n$ измерениях), а подразумевают, что когда задана метрика, то задан и объём. Хотя это не до конца верно: для задания объёма необходимо ещё расставить знаки, то есть указать, какие базисы право-, а какие левоориентированы. Но можно поступить и наоборот: ввести структуру $n$-объёма, а структуру скалярного произведения не вводить.