обобщение скалярного произведения

[ewert]

mich72 в сообщении #579300 писал(а):

например, я приму за базисные два вектора на плоскости a и b (школьных вектора), пересекающиеся не под прямым углом. соответственно поставлю им в соответствие пары чисел a=(1,0) b=(0,1) и определю скалярную величину (a,a)=(b,b)=1, (a,b)=(b,a)=0.

Это ровно и означает, что Вы задаёте положительную симметричную билинейную форму, не более и не менее. При этом задаёте простейшим образом -- через единичную матрицу. Т.е. предлагаете конкретную модель абстрактного скалярного произведения. Никакого другого содержания Ваша конструкция в себе не несёт.

[mich72]

Kallikanzarid в сообщении #579259 писал(а):

Если $a$ и $b$ линейно независимы, и вы положите $\rho(a, a) = \rho(b, b) = 1$, $\rho(a, b) = \rho(b, a) = 0$, то вы получите линейно изометрический изоморфизм

то есть, если СП $(a,b)=0$, то пространство должно быть изометричным? а как описываются свойства изотропного пространства в косоугольных координатах, если СП базисных векторов a и b равно 0. например длины векторов (1,1) и (-1,1) различны?

-- 01.06.2012, 10:10 --

ewert в сообщении #579303 писал(а):

Это ровно и означает, что Вы задаёте положительную симметричную билинейную форму, не более и не менее.

а как метрику ввести? векторы то под углом расположены. в определении СП это естественно не отображается, значит как-то в определении метрики должно быль отражено?

[ewert]

mich72 в сообщении #579306 писал(а):

векторы то под углом расположены. в определении СП это естественно не отображается

В определении ни метрики, ни скалярного произведения никаких углов вообще нет. И когда Вы произносите слова "векторы под углом" -- это всего-навсего означает, что у Вас уже было задано некоторое скалярное произведение (которое и порождает углы), а Вы хотите ввести скалярное произведение другое. Ну вводите; ну и что?...

[Maslov]

mich72 в сообщении #579300 писал(а):

я приму за базисные два вектора на плоскости a и b (школьных вектора), пересекающиеся не под прямым углом. соответственно поставлю им в соответствие пары чисел a=(1,0) b=(0,1) и определю скалярную величину (a,a)=(b,b)=1, (a,b)=(b,a)=0. я написал скалярную величину из осторожности. можно ли в этом случае эту величину считать скалярным произведением?

"Эту величину" можно считать вещественным скалярным произведением только в случае, если она удовлетворяет следующим свойствам:
1. Она определена для любой пары векторов
2. $(x, y) = (y, x)$ для любой пары векторов $x, y$
3. $(x_1 + x_2, y) = (x_1, y) + (x_2, y)$ для любых трех векторов $x_1, x_2, y$
4. $(\alpha x, y) = \alpha (x, y)$ для любой пары векторов $x, y$ и действительного числа $\alpha$
5. $(x, x) > 0$, если $x$ -- ненулевой элемент, $(x, x) = 0$, если $x$ -- нулевой элемент.
Поэтому до тех пор пока Вы не определили, как Ваша "скалярная величина" рассчитывается для любой пары векторов, мы не можем сказать, является ли она скалярным произведением.

[ewert]

Maslov в сообщении #579313 писал(а):

$(x, x) = 0$, если $x$ -- нулевой элемент.

Это лишнее.

[mich72]

ewert в сообщении #579311 писал(а):

В определении ни метрики, ни скалярного произведения никаких углов вообще нет. И когда Вы произносите слова "векторы под углом" -- это всего-навсего означает, что у Вас уже было задано некоторое скалярное произведение

вот тут непонятно. скалярное произведение в классической геометрии связывает длины векторов и угол между ними. причём эту величину выбрали так, чтобы она не меняла своего значения при параллельном переносе и повороте системы координат. исторически сложилось, что в качестве системы координат (СК) использовали прямоугольную. и скалярное произведение определено через косинус, который определён для прямоугольного треугольника. не понятно, когда вы говорите: "векторы под углом" -- это всего-навсего означает, что у Вас уже было задано некоторое скалярное произведение. напротив, я хочу выяснить, можно ли для косоугольной системы координат ввести скалярную величину, связывающую метрические характеристики векторов, или даже точнее, такую величину, значение которой не менялось бы при изменении угла между векторами. иначе получается, что для специального угла (прямого) специальная величина есть (скалярное произведение).

-- 01.06.2012, 11:01 --

Maslov в сообщении #579313 писал(а):

"Эту величину" можно считать вещественным скалярным произведением только в случае, если она удовлетворяет следующим свойствам:
1. Она определена для любой пары векторов
2. $(x, y) = (y, x)$ для любой пары векторов $x, y$
3. $(x_1 + x_2, y) = (x_1, y) + (x_2, y)$ для любых трех векторов $x_1, x_2, y$
4. $(\alpha x, y) = \alpha (x, y)$ для любой пары векторов $x, y$ и действительного числа $\alpha$
5. $(x, x) > 0$, если $x$ -- ненулевой элемент, $(x, x) = 0$, если $x$ -- нулевой элемент.
Поэтому до тех пор пока Вы не определили, как Ваша "скалярная величина" рассчитывается для любой пары векторов, мы не можем сказать, является ли она скалярным произведением.

Свойства(1)-(4) соблюдены - операция сложения векторов линейная и дистрибутивна относительно умножения на элементы вещественного поля. из осторожности, чтобы меня опять не уличили в абсолютном незнании предмета дискуссии скажу, что полной уверенности относительно свойства (5) нет - может специально надо проверить. но, судя по наглядной интерпретации направленных отрезков, считаю, что это свойство выполняется. во всяком случае не нахожу ненулевой вектор, удовлетворяющий $(x, x) = 0$.
В этом случае можно?

[Munin]

mich72 в сообщении #579300 писал(а):

опять же метрику мы ещё не определили: ни длину вектора, ни угол между векторами.

В тот момент, когда вы определяете скалярное произведение (удовлетворяющее аксиомам), у вас моментально появляется и метрика, и длины векторов, и углы между векторами. Метрика и скалярное произведение - это просто два способа смотреть на одну и ту же геометрическую структуру на плоскости.

[Maslov]

mich72 в сообщении #579327 писал(а):

Свойства(1)-(4) соблюдены - операция сложения векторов линейная и дистрибутивна относительно умножения на элементы вещественного поля.

Ну при чем здесь операция сложения векторов? Речь идет о Вашей "скалярной величине". Вы определили ее только для двух векторов $a=(1, 0), b=(0, 1)$, а надо определить для всех.

Чему Ваша "скалярная величина" равна для произвольной пары векторов $x = (x_1, x_2), y = (y_1, y_2)$?

Только, пожалуйста, напишите формулу.

[Kallikanzarid]

mich72 в сообщении #579306 писал(а):

то есть, если СП (a,b)=0, то пространство должно быть изометричным? а как описываются свойства изотропного пространства в косоугольных координатах, если СП базисных векторов a и b равно 0. например длины векторов (1,1) и (-1,1) различны?

Чепуха какая-то. Возьмите книжку по линейной алгебре и разберитесь с определениями, для начала.

[Time]

mich72 в сообщении #579327 писал(а):

полной уверенности относительно свойства (5) нет - может специально надо проверить. но, судя по наглядной интерпретации направленных отрезков, считаю, что это свойство выполняется. во всяком случае не нахожу ненулевой вектор

Если опустить свойство (5), то тогда кроме положительноопределенных метрик будут получаться и псевдометрики псевдоевклидовых пространств. В последних есть такие вектора, которые, будучи не обязательно нулевыми, будут иметь нулевую длину и даже отрицательную величину квадрата "длины" вектора.

[mich72]

Munin в сообщении #579338 писал(а):

В тот момент, когда вы определяете скалярное произведение (удовлетворяющее аксиомам), у вас моментально появляется и метрика, и длины векторов, и углы между векторами

то есть, если мы вводим какую-то скалярную величину как соотношение между измеримыми (наблюдаемыми) параметрами этих векторов, и вводим её таким образом, чтобы она сохраняла своё значение при определённых преобразованиях, сами параметры при этих преобразованиях могут меняться? а конкретно, как определить скалярное произведение в косоугольных координатах в изотропном пространстве? если оставить его таким, как и в прямоугольных координатах, то при повороте должны меняться длины векторов: если мы построим на косоугольном базисе (1,0) и (0,1) ромб, то координаты большей диагонали будут (1,1), а координаты вектора параллельного малой диагонали будут (-1,1). по правилу определения длины через СП у них длины численно равны, но они то не равны. то есть чтобы у вектора номинально длина оставалась при повороте постоянной его нужно деформировать? тогда получается что в прямоугольных координатах описывается изотропное пространство, а в косоугольных анизотропное? но ведь от выбора координат свойство пространства не меняется, это инструмент. значит надо как-то правильно задать скалярное произведение, хотя бы таблично, для выбранного базиса. вот и каким условиям должна это скалярная величина удовлетворять?

-- 01.06.2012, 13:53 --

Maslov в сообщении #579340 писал(а):

Ну при чем здесь операция сложения векторов? Речь идет о Вашей "скалярной величине". Вы определили ее только для двух векторов $a=(1, 0), b=(0, 1)$, а надо определить для всех.

аналогично сделали и вы в своём примере - определили СП только для базисных векторов. для произведения других векторов, соответственно, пользуемся линейностью СП.

[lek]

mich72 в сообщении #579327 писал(а):

исторически сложилось, что в качестве системы координат (СК) использовали прямоугольную.

Вам уже несколько раз говорили, что определение скалярного произведения вообще не требует введения какой-либо системы координат. Прямоугольная система координат используется лишь потому, что в ней координатная запись скалярного произведения имеет максимально простой вид.

mich72 в сообщении #579327 писал(а):

и скалярное произведение определено через косинус,

Если ограничиваться школьной математикой, то да. А на самом деле, с точностью до наоборот.

mich72 в сообщении #579379 писал(а):

как определить скалярное произведение в косоугольных координатах в изотропном пространстве? ... что в прямоугольных координатах описывается изотропное пространство, а в косоугольных анизотропное?

Бред...

Kallikanzarid в сообщении #579354 писал(а):

Возьмите книжку по линейной алгебре и разберитесь с определениями, для начала.

[mich72]

Maslov в сообщении #579340 писал(а):

Чему Ваша "скалярная величина" равна для произвольной пары векторов $x = (x_1, x_2), y = (y_1, y_2)$?

$(x,у)= (x_1y_1)(a,a)+(x_2y_2)(b,b)+(x_1y_2+x_2y_1)(b,a)$
я предположил, что $(a,a)=(b,b)=1 и (b,a)=(a,b)=0,$, хотя направленные отрезки у меня заведомо не перпендикулярные. могу так сделать или нет?

-- 01.06.2012, 14:12 --

lek в сообщении #579402 писал(а):

Вам уже несколько раз говорили, что определение скалярного произведения вообще не требует введения какой-либо системы координат

вот тут поясните. скалярное произведение в классической геометрии определяется как произведение длин векторов на косинус угла между векторами, а косинус определён для прямоугольного треугольника. СП двух векторов это проекция одного вектора на другой, но проекция перпендикулярная. чтобы осуществить проекцию в косоугольной системе координат (параллельно осям) какой должна быть скалярная величина, аналогичная СП

[Munin]

mich72 в сообщении #579379 писал(а):

а конкретно, как определить скалярное произведение в косоугольных координатах в изотропном пространстве?

$(\mathbf{a},\mathbf{b})=a_{11}a_xb_x+a_{12}a_xb_y+a_{21}a_yb_x+a_{22}a_yb_y,$
или в матричном виде
$(\mathbf{a},\mathbf{b})=\left(\begin{array}{cc}a_x&a_y\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}b_x\\b_y\end{array}\right)
где для выполнения аксиом скалярного произведения необходимо задать $a_{12}=a_{21}$ (всё в действительном, некомплексном случае), и ещё пару более сложных соотношений.

mich72 в сообщении #579379 писал(а):

то есть чтобы у вектора номинально длина оставалась при повороте постоянной его нужно деформировать?

Да, когда вектор поворачивается с сохранением длины, его координаты преобразуются не по стандартной матрице поворота, а по другой матрице. Эта другая матрица должна быть ортогональна в смысле введённого скалярного произведения.

mich72 в сообщении #579379 писал(а):

тогда получается что в прямоугольных координатах описывается изотропное пространство, а в косоугольных анизотропное? но ведь от выбора координат свойство пространства не меняется, это инструмент.

Да, поэтому не говорят "изотропное пространство" или "неизотропное пространство" (по крайней мере, в этом смысле), а считают, что когда введено скалярное произведение, то автоматически появляются и прямоугольные координаты, а изначальные могли быть косоугольными. Само пространство одно и то же.

[nnosipov]

mich72 в сообщении #579407 писал(а):

СП двух векторов это проекция одного вектора на другой, но проекция перпендикулярная. чтобы осуществить проекцию в косоугольной системе координат (параллельно осям) какой должна быть скалярная величина, аналогичная СП

Ну и каша. Вы знакомы с правилами русского языка? Вы не можете даже внятно сформулировать свой вопрос. При такой неряшливости Вам будет очень трудно понять, что такое скалярное произведение (да и не только это).