Квантовая потенциальная яма непрямоугольной формы

[Helium]

Помогите найти формулу для расчета уровней энергии для уравнения

$-\frac{{\hbar}^{2}}{2m{r}^{2}}\frac{{d}^{2}\Psi }{d{\theta }^{2}}+ \frac{{e}^{2}}{4r}\frac{1}{\cos \theta }\Psi = E\Psi $

В атомных единицах Хартри $\hbar=m=e=1$ получим

$-\frac{{1}}{2{r}^{2}}\frac{{d}^{2}\Psi }{d{\theta }^{2}}+ \frac{{1}}{4r}\frac{1}{\cos \theta }\Psi = E\Psi $

r некоторая постоянная , область изменения угла $ \theta [-\frac{\pi }{2}; +\frac{\pi }{2}] $
На границах области волновая функция превращается в 0 $\Psi(-\frac{\pi }{2}) = \Psi(+\frac{\pi }{2})=0$
Желательно найти универсальную формулу для квантованных уровней энергии. Для основного состояния пологая угол $\theta$ небольшим и после преобразования $\frac{1}{\cos \theta }= \sec \theta \approx 1+\frac{{\theta }^{2}}{2}$ в ряд Тейлора задача немного упрощается.

[Kamaz]

Универсальную формулу вряд ли можно получить. Высокие состояние по квазиклассике можно найти. А задача о чем? Вроде ротатор, но потенциал не пойму....Откуда такая потенциальная энергия?

[Helium]

Это уравнение касается атома гелия. И напоминает одновременно и ротатор и осциллятор и яму. Может быть сначала обсудим основное состояние. Используя преобразование в ряд Тейлора получается следующее уравнение:

$-\frac{{1}}{2{r}^{2}}\frac{{d}^{2}\Psi }{d{\theta }^{2}}+ \frac{{1}}{4r}(1+\frac{{\theta }^{2}}{2})\Psi = E\Psi $

дальнейшее преобразование дает:

$-\frac{{1}}{2}\frac{{d}^{2}\Psi }{d{\theta }^{2}}+ \frac{{r{\theta }^{2}}}{2\cdot 4}\Psi = {r}^{2}\cdot (E-\frac{1}{4r})\Psi $
Полученное уравнение является уравнением гармонического осциллятора и по аналогии можно записать формулу для $\omega$ в виде: $\omega =\sqrt{\frac{r}{4}} $
Продолжая логику сравнения с гармоническим осциллятором можно записать формулу для энергии:

$ {r}^{2}\cdot(E-\frac{1}{4r})=(n+\frac{1}{2})\sqrt{\frac{r}{4}} $ где n=(0,1,2,3,4….)
напомню $ \hbar=m=e=1 $

Теперь возникает вопрос насколько верна такая формула в данном случае? Поскольку для стандартного гармонического осциллятора аргумент x меняет значения в интервале $ [-\infty; +\infty]$ а в нашем случае аргумент $\theta [-\frac{\pi }{2}; +\frac{\pi }{2}] $ . Как данное обстоятельство влияет на формулу для энергии?

[Kamaz]

Helium в сообщении #577660 писал(а):

в нашем случае аргумент . Как данное обстоятельство влияет на формулу для энергии?

Я думаю, что т.к. вы заменяете реальный потенциал гармоническим, то в этом же приближении вы можете протянуть пределы до бесконечности, а не только до плюс-минус девяносто градусов. Можно написать и соответсвующее условие: осцилляторная длина должна быть много меньше $\pi$. Причем это же условие является условием разложения реального потенциала до гармонического.

-- Вт май 29, 2012 09:12:06 --

Да, еще: для чего вам в.ф? Что вы потом планируете считать?

[Helium]

Замена реального потенциала гармоническим это вынужденная мера для нахождения формулы энергии основного состояния. Для более высоких возбужденных состоянии такая формула не пройдет. А можно попросить Вас все это написать в виде окончательной формулы для основного состояния при n=0 ? Будем сравнивать величину полученной энергии с энергией гармонического осциллятора.
Формула мне нужна для расчета энергии оболочки гелия при n =0 n=1 n=2 n=3 .

[Helium]

Для случая приближения с гармоническим потенциалом похоже что то проясняется.

Волновая функция основного состояния имеет вид:

${\Psi }_{0} \left(x \right)=\frac{1}{\sqrt{{x}_{0}\sqrt{\pi }}}\exp \left(-\frac{{x}^{2}}{2x^2_0}\right)$

где ${x}_{0}=\sqrt{\frac{\hbar}{{m}_{0}{\omega }_{0}}}$


Среднее значение потенциальной энергии вычисляется по формуле:

$<U> = \int_{-\infty}^{+\infty}U\left(x \right){\left|{\Psi }_{0}\left(x \right) \right|}^{2}dx $


В нашем случае полагаю необходимо изменить область интегрирования. Вместо $ [-\infty; +\infty] $ взять $[-\frac{\pi }{2}; +\frac{\pi }{2}]$

Окончательно интеграл принимает следующий вид:

$<U> = \frac{{m}_{0}\omega ^2_0}{2{x}_{0}\sqrt{\pi }}\int_{-\frac{\pi }{2}}^{+\frac{\pi }{2}}{x}^{2}\exp \left(-\frac{{x}^{2}}{x^2_0} \right)dx $

нужно вычислить данный интеграл принимая $\hbar={m}_{0}=1$

[ewert]

Это всё некоторая филькина грамота. Очевидно, что исходная краевая задача не может описывать исходный гелий формально адекватно. Очевидно, что подобного рода уравнение может описывать основные состояния более-менее адекватно -- если только, конечно, много-много уровней лежат вблизи дна той ямы из перевёрнутых косинусов. И очевидно, что в противоположном пределе высокоэнергетического приближения для предложенной идеализированной задачки всё окажется асимптотически равно уровням просто прямоугольного ящика, и даже соотв. поправки на непрямоугольность того ящика можно при желании можно посчитать; только, очевидно, это не нужно -- в этом пределе, очевидно, сама идеализация окажется некорректной.

[Kamaz]

ewert в сообщении #578177 писал(а):

Очевидно, что подобного рода уравнение может описывать основные состояния более-менее адекватно -- если только, конечно, много-много уровней лежат вблизи дна той ямы из перевёрнутых косинусов.

Это же самое выражается формулой $\hbar^2/2mr^2<<e^2/r$ - это неравенство позволяет пользоваться квадратичным разложением.
Если ТС теперь выразит $x_0$ через параметры уравнения и воспользуется неравнеством написанным выше, то сможет убедиться, что $x_0<<1$ что позволяет протянуть пределы до бескнечности в интеграле. (Если, конечно, он подразумевает $x$ это тот самый угол, что в уравнении)

[Helium]

ewert в сообщении #578177 писал(а):

Очевидно, что исходная краевая задача не может описывать исходный гелий формально адекватно. Очевидно, что подобного рода уравнение может описывать основные состояния более-менее адекватно -- если только, конечно, много-много уровней лежат вблизи дна той ямы из перевёрнутых косинусов.

Конечно не может это же только часть всего уравнения. Может не стоит забегать вперед доведем решение до конца а там будет видно. И пока речь идет только об основном состоянии.

[Helium]

Kamaz в сообщении #578245 писал(а):

Это же самое выражается формулой $\hbar^2/2mr^2<<e^2/r$ - это неравенство позволяет пользоваться квадратичным разложением.

Мне не понятно как можно применять данное неравенство когда в него входят одни константы? В атомных единицах Хартри $\hbar=m=e=1$ и r = 0.547 орбитальный радиус гелия тоже в атомных единицах. $\hbar^2/2mr^2$ получается равным 1.67 и $e^2/r$ получается 1.828 Может быть немного подробнее объясните что имеется ввиду?
Да x это угол $\theta $ .
Возможно Вы имеете ввиду что при малых углах отклонения от равновесия квадратичный потенциал лучше согласуется с приведенным обратным косинусом? То это да конечно верно. Но нам заранее не известны пределы угла отклонения от равновесия для основного состояния т.е. при нулевых колебаниях.

[Kamaz]

Если у вас две эти величины, входящие в неравенство, одного порядка, то раскладывать косинус вы не можете. Считайте ВФ численно.

[Helium]

Kamaz в сообщении #578807 писал(а):

Если у вас две эти величины, входящие в неравенство, одного порядка, то раскладывать косинус вы не можете. Считайте ВФ численно.

Хорошо допустим считаю численно. Тогда как задавать условие квантования? Например как объяснить программе что решаем основное состояние n=0 ? или решаем первое возбужденное состояние n=1 и т.д. Может быть есть критерий сделать это с помощью угла $\theta$ ?

[Kamaz]

Есть еще один способ решить задачу аналитически. Поскольку потенциал периодичен, то ВФ можно искать по теореме Блоха, как в кристаллах. Знаете такую теорему?

-- Чт май 31, 2012 16:23:33 --

Ну и попытаться использовать методы, развитые для кристаллов: метод сильной или слабой связи.

[Munin]

Kamaz в сообщении #578877 писал(а):

Есть еще один способ решить задачу аналитически. Поскольку потенциал периодичен, то ВФ можно искать по теореме Блоха, как в кристаллах.

А разве она даёт аналитическое решение?

[sup]

Для численного моделирования возможно будет полезным искать четные решения в виде
$\Psi = \Psi(\cos \theta)$
а нечетные в виде
$\Psi = \sin \theta\Psi(\cos \theta)$
После этого вся тригонометрия уходит и остаются уравнения очень похожие на уравнения для полиномов Чебышева. Поэтому потом ищем решение в виде в виде конечной суммы полиномов Чебышева. По сути это метод Галеркина с базисом из полиномов Чебышева.