Да, здесь надо сделать финт.
Сначала заметим, что
![$ax+by+cz$ $ax+by+cz$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/b/2cbf9b6e36e40f400fb1cea9503bfd7182.png)
--это скалярное произведение фиксированного вектора
![$\mathbf p=(a, b, c)$ $\mathbf p=(a, b, c)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/d/99d6fcbfdd5cdb71b2b4ea124611e02682.png)
и радиус-вектора
![$\mathbf r=(x, y, z)$ $\mathbf r=(x, y, z)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/b/ecba9fb27550775141c57724522e97f782.png)
. Это даёт возможность записать интеграл в бескоординатной форме:
![$$I=\int\limits_{|\mathbf r|=1}f(\mathbf p\cdot \mathbf r)\,dS$$ $$I=\int\limits_{|\mathbf r|=1}f(\mathbf p\cdot \mathbf r)\,dS$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/1/e51f89c7a2178956e317e78b9e841c6682.png)
Теперь, да, вводим сферические координаты, но полярную ось направляем не вдоль старой
![$Oz$ $Oz$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/c/8/4c80e58e279276f4c54a80cc6823524082.png)
, а вдоль вектора
![$\mathbf p$ $\mathbf p$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/8/9982f849471c2f147b236f6838eb3a1b82.png)
.
Здесь надо только понять, что угол между
![$\mathbf p$ $\mathbf p$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/8/9982f849471c2f147b236f6838eb3a1b82.png)
и
![$\mathbf r$ $\mathbf r$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/8/2/a82c32a69ccd4b4fe55aa66f12d7aaf382.png)
-- это просто сферическая координата
![$\theta$ $\theta$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/e/27e556cf3caa0673ac49a8f0de3c73ca82.png)
. Поэтому
![$$\mathbf p\cdot \mathbf r=|\mathbf p||\mathbf r|\cos\theta=|\mathbf p|\cos\theta$$ $$\mathbf p\cdot \mathbf r=|\mathbf p||\mathbf r|\cos\theta=|\mathbf p|\cos\theta$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/d/6fd29b979593441b5011d2a7fdd7259382.png)
![$$I=\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{0}^{\pi}f(|\mathbf p|\cos\theta)\,\sin\theta \,d\theta$$ $$I=\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{0}^{\pi}f(|\mathbf p|\cos\theta)\,\sin\theta \,d\theta$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/7/937b3213e63b931120c82133ca693a6582.png)
и дальше легко.
Вы видите, что секрет был в использовании таких сферических координат, чтобы аргумент функции
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
не зависел от
![$\varphi$ $\varphi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/7/417a5301693b60807fa658e5ef9f953582.png)
(ведь если радиус-вектор будет описывать окружность
![$0\leqslant \varphi\leqslant 2\pi$ $0\leqslant \varphi\leqslant 2\pi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/8/5/085a1139059175b0d00345f30195528d82.png)
, сохраняя постоянную длину и постоянный угол
![$\theta$ $\theta$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/e/27e556cf3caa0673ac49a8f0de3c73ca82.png)
с вектором
![$\mathbf p$ $\mathbf p$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/8/9982f849471c2f147b236f6838eb3a1b82.png)
, скалярное произведение
![$\mathbf p\cdot \mathbf r$ $\mathbf p\cdot \mathbf r$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/1/091b08d55f3fc4537fb4e98c004da09d82.png)
меняться не будет). Полярную ось в принципе можно направить как угодно, но лишь при таком выборе подынтегральная функция перестает зависеть от
![$\varphi$ $\varphi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/7/417a5301693b60807fa658e5ef9f953582.png)
, и это дает возможность уменьшить кратность интеграла, даже не имея информации о функции
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
.