Формула Пуассона. Поверхностный интеграл первого рода.

[Firth]

Доказать формулу Пуассона.

$$\int\limits_{x^2+y^2+z^2=1} f(ax+by+cz)ds=2\pi \int\limits_{-1}^{1} f(t\cdot \sqrt{a^2+b^2+z^2})dt$$

Иду к сферическим координатам, благо, что $\rho = 1$.

$$ x=\sin\theta \cos\varphi; y=\sin\theta \sin\varphi; z=\cos\theta $$

$ds=\sin\theta d\theta d\varphi$
В итоге под первым интегралом получаем:

$$f(a\cdot\sin\theta \cos\varphi+b\cdot\sin\theta \sin\varphi+c\cdot\cos\theta)\cdot\sin\theta$$

Вот тут я в тупике, может надо было к цилиндрическим переходить, а то уж больно пределы подозрительные после знака равенства, такое впечатление что интегрируют по сфере снизу вверх по всей длине диаметра($z=t$ чтоле брать?), а множитель $2\pi$ наводит на мысль о том, что был там интеграл с пределами от $0$ до $2\pi$, или надо будет со сферическими какой-нибудь финт сделать?

[svv]

Да, здесь надо сделать финт.
Сначала заметим, что $ax+by+cz$ --это скалярное произведение фиксированного вектора $\mathbf p=(a, b, c)$ и радиус-вектора $\mathbf r=(x, y, z)$. Это даёт возможность записать интеграл в бескоординатной форме:

$$I=\int\limits_{|\mathbf r|=1}f(\mathbf p\cdot \mathbf r)\,dS$$

Теперь, да, вводим сферические координаты, но полярную ось направляем не вдоль старой $Oz$, а вдоль вектора $\mathbf p$.
Здесь надо только понять, что угол между $\mathbf p$ и $\mathbf r$ -- это просто сферическая координата $\theta$. Поэтому

$$\mathbf p\cdot \mathbf r=|\mathbf p||\mathbf r|\cos\theta=|\mathbf p|\cos\theta$$

$$I=\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{0}^{\pi}f(|\mathbf p|\cos\theta)\,\sin\theta \,d\theta$$

и дальше легко.

Вы видите, что секрет был в использовании таких сферических координат, чтобы аргумент функции $f$ не зависел от $\varphi$ (ведь если радиус-вектор будет описывать окружность $0\leqslant \varphi\leqslant 2\pi$, сохраняя постоянную длину и постоянный угол $\theta$ с вектором $\mathbf p$, скалярное произведение $\mathbf p\cdot \mathbf r$ меняться не будет). Полярную ось в принципе можно направить как угодно, но лишь при таком выборе подынтегральная функция перестает зависеть от $\varphi$, и это дает возможность уменьшить кратность интеграла, даже не имея информации о функции $f$.

[Firth]

Ох спасибо огромное.

[svv]

Я, оказывается, не знаю, что такое "полярная ось". Употреблял это в смысле "луч $\theta=0$".
Ну, ничего, Вы меня поняли правильно.

[Nimza]

Можно обойтись без сферических координат, воспользовавшись формулой коплощади, расслаивая шар на плоские сечения, ортогонально вектору p из сообщения svv (Ваш интеграл сводится к интегралу по шару взятием производной по радиусу шара). Прокатит для любой размерности.