Классификация школьных задач

[lhjpe]

Cash в сообщении #576191 писал(а):

При решении квадратного уравнения необходимо извлекать квадратный корень.Если это же решение можно получить линейными операциями, это означает, что существует алгоритм извлечения квадратного корня с помощью конечного числа четырех арифметических действий. Это невозможно, поскольку операции замкнуты на множестве рациональных чисел. А квадратный корень выходит за их пределы.

В прояснении вопроса сделан убедительный шаг. Теперь дальше.
Квадратное уравнение получилось в данном конкретном решающем рассуждении. При другом подходе будет использована другая цепочка равенств. Она должна использовать операцию квадратного корня или другую, её охватывающую. Как сделать эти операции "допущенными интуицией"? Или это уже совсем не математическое дело?

[Munin]

lhjpe в сообщении #576167 писал(а):

Задача о "человеке с женой" относится к "линейному классу". Это демонстрируется приведённым решением. Приведённое решение "велосипедиста" - второго порядка. Как доказать, что решений первого порядка "велосипедист" иметь не может?

Элементарно. У квадратного уравнения два корня. У линейного уравнения двух корней быть не может.

[lhjpe]

Cash в сообщении #576191 писал(а):

При решении квадратного уравнения необходимо извлекать квадратный корень.Если это же решение можно получить линейными операциями, это означает, что существует алгоритм извлечения квадратного корня с помощью конечного числа четырех арифметических действий. Это невозможно, поскольку операции замкнуты на множестве рациональных чисел. А квадратный корень выходит за их пределы.

Это хорошо. Остаётся маленький пробел наподобие: Вот из невозможности общего решения уравнения 5ой степени в радикалах не следует, что корни любого конкретного уравнения через радикалы не выражаются. Только не общей формулой. Это опровергается предъвлением конкретного уравнения 5ой степени, корни которого через радикалы не выразить.
Только тут наоборот: При некоторых исходных числах решение содержит неизвлекаемые корень из числа. Ну а если повезло и извлеклось, почему бы не прийти к этому ответу линейными шагами?









[/quote]

Munin в сообщении #576300 писал(а):

Элементарно. У квадратного уравнения два корня. У линейного уравнения двух корней быть не может.

Количества корней недостаточно. А вдруг есть хитрое решение из пары линейных ветвей?

[Munin]

lhjpe в сообщении #576366 писал(а):

Количества корней недостаточно. А вдруг есть хитрое решение из пары линейных ветвей?

Нету. Гарантируется линейной алгеброй.

-- 26.05.2012 03:44:27 --

lhjpe в сообщении #576366 писал(а):

Это хорошо. Остаётся маленький пробел наподобие: Вот из невозможности общего решения уравнения 5ой степени в радикалах не следует, что корни любого конкретного уравнения через радикалы не выражаются. Только не общей формулой. Это опровергается предъвлением конкретного уравнения 5ой степени, корни которого через радикалы не выразить.

На самом деле, это опровергается теорией групп. И является удивительным примером взаимосвязи разных, казалось бы далёких, ветвей математики: алгебраические полиномы, функции комплексной переменной, абстрактная алгебра, и топология.

[Cash]

Цитата:

При некоторых исходных числах решение содержит неизвлекаемые корень из числа. Ну а если повезло и извлеклось, почему бы не прийти к этому ответу линейными шагами?

Да вполне может быть что требуется извлечь корень из $4$. Но изменяя условия задачи, мы всегда можем прийти к "нехорошим" корням, а суть решения поменяться не должна. Сравните со следующей задачей: Сократить $\frac{16}{64}$.
"Решение": $6$ взаимно уничтожается и в ответе получаем $\frac{1}{4}$.

[Лукомор]

lhjpe в сообщении #576366 писал(а):

Ну а если повезло и извлеклось, почему бы не прийти к этому ответу линейными шагами?

1. Я что-то не понимаю, в чём вопрос заключается.
Допустим, есть уравнение:
$x^2=5$
Оно решается в "буквах", или не решается?
А в "цифрах"?
Что понимать под решением?
"Сторона квадрата площадью 5" - это решение, или нет?
Или так:"Гипотенуза прямоугольного треугольника со сторонами 1 и 2".
Вполне нормальное геометрическое решение, причём точное.
2. По поводу задачи из первого поста темы.
Никакого особого мистического смысла в дискриминанте получившегося квадратного уравнения нет.
Это просто квадрат полусуммы скоростей велосипедиста и пешехода.