Антимагические квадраты

[Nataly-Mak]

У меня такой вопрос возник: между примитивными и пандиагональными квадратами 5-го порядка существует взаимно-однозначное соответствие.
Можно ли сказать то же самое о квадратах 4-го порядка?
Очевидно, что из любого пандиагонального квадрата можно получить примитивный квадрат.
А вот наоборот, по-моему, неверно. Как мне помнится, чтобы из примитивного квадрата 4-го порядка можно было получить пандиагональный, он должен удовлетворять некоторым дополнительным условиям.

[Nataly-Mak]

И ещё вопрос есть у меня.

Выше приведена система уравнений для квадрата Стенли 4-го порядка, в этой системе 24 уравнения и 17 неизвестных. На форуме ПЕН мне дали ссылку на онлайн-решатель СЛУ. Но этот решатель решает только системы, в которых количество уравнений не превышает количество неизвестных. Ну, сделала, как мне посоветовали: решила систему первых 17 уравнений, решение получила такое:

x1=-c1-c2-c4-c5+c6+c7;x2=-c1-c2-c3-c5+c6+c7;x3=-c1-c2-c3-c4+c6+c7;x4=-c1-c2-c3-c4-c5+2c6+c7;x5=c1+c3-c6;x6=c1+c4-c6;x7=c1+c5-c6;x8=c1;x9=c2+c3-c6;x10=c2+c4-c6;x11=c2+c5-c6;x12=c2;x13=c3;x14=c4;x15=c5;x16=c6;x17=c7

Здесь x17=S (индекс квадрата Стенли). Решение верное, я проверила для конкретных чисел из известного квадрата Стенли 4-го порядка.

Подставила это решение в остальные 7 уравнений, получила тождества.

Весьма интересный факт! В свете системы уравнений для квадрата Стенли 6-го порядка. В этой системе будет 720 уравнений с 37 неизвестными.
Так вот, если мы аналогично решим систему из 37 уравнений с 37 неизвестными, неужели остальные 683 уравнения будут тождественно удовлетворяться?

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #575728 писал(а):

У меня такой вопрос возник: между примитивными и пандиагональными квадратами 5-го порядка существует взаимно-однозначное соответствие.
Можно ли сказать то же самое о квадратах 4-го порядка?
Очевидно, что из любого пандиагонального квадрата можно получить примитивный квадрат.
А вот наоборот, по-моему, неверно. Как мне помнится, чтобы из примитивного квадрата 4-го порядка можно было получить пандиагональный, он должен удовлетворять некоторым дополнительным условиям.

Все пандиагональные квадраты порядков 4 и 5 регулярные (Россер). То есть из каждого примитивного квадрата 4-го порядка можно получить пандиагональный и наоборот.

[Nataly-Mak]

Цитата:

То есть из каждого примитивного квадрата 4-го порядка можно получить пандиагональный и наоборот.

Вот этот примитивный квадрат 4-го порядка:

5 7 17 31
11 13 23 37
41 43 53 67
71 73 83 97

можно превратить в пандиагональный? Покажите соответствующий ему пандиагональный квадрат 4-го порядка, пожалуйста.

Уверена, что этот примитивный квадрат 4х4 в пандиагональный не превращается.

Примитивный квадрат 4х4, как я уже сказала, должен удовлетворять дополнительным условиям, чтобы из него можно было получить пандиагональный квадрат. Эти условия, помнится, приводил svb в теме "Магические квадраты"; да и в моих статьях это где-то должно быть, искать не хочется.

Кстати, у Россера есть преобразование, превращающее примитивный квадрат 4-го порядка в пандиагональный? Какое это проеобразование? Приведите его, пожалуйста.

(оно будет переводить приведённый примитивный квадрат в пандиагональный?)

Я пользовалась своим преобразованием, которым раньше превращала обратимые квадраты в совершенные классические квадраты; в теме "Магические квадраты" это преобразование выложено на стр. 100. А пандиагональные квадраты 4-го порядка, как известно, являются совершенными, как классические, так и нетрадиционные.

-- Пт май 25, 2012 10:17:55 --

Вот этот примитивный квадрат 4х4 я превращаю в пандиагональный с помощью своего преобразования, о котором сказала выше:

113 89 47 23
107 83 41 17
103 79 37 13
97 73 31 7

Pavlovsky
вы забыли, что пандиагональный квадрат 4-го порядка всегда составляется из комплементарных пар чисел. А далеко не любой примитивный квадрат 4х4 составлен из комплементарных пар.

-- Пт май 25, 2012 10:25:22 --

Кстати, вот этот примитивный квадрат:

5 7 17 31
11 13 23 37
41 43 53 67
71 73 83 97

является квадратом Стенли из простых чисел с индексом 168.

Этот квадрат получен из наименьшего примитивного квадрата 5-го порядка (автор Pavlovsky) выбрасыванием последней строки и последнего столбца.

Отлично! Раньше мной получен квадрат Стенли 4-го порядка из простых чисел с индексом 240 (что соответствует наименьшему пандиагональному квадрату 4-го порядка из простых чисел).

[Nataly-Mak]

Реализовала общую формулу квадрата Стенли 4-го порядка (полученное решение системы уравнений).
Удалось получить по программе такой квадрат Стенли с индексом 150:

67 73 97 59
11 17 41 3
31 37 61 23
13 19 43 5

Если не наврала в программе, это наименьший квадрат Стенли 4-го порядка из простых чисел (то есть квадрат с минимальным индексом).

Pavlovsky
из этого примитивного квадрата вы тоже не получите пандиагональный квадрат.

[Nataly-Mak]

Это первые 37 уравнений с 37 неизвестными для квадрата Стенли 6-го порядка:

x1+x8+x15+x22+x29+x36-x37=0
x6+x11+x16+x21+x26+x31-x37=0
x1+x12+x17+x22+x27+x32-x37=0
x2+x7+x18+x23+x28+x33-x37=0
x3+x8+x13+x24+x29+x34-x37=0
x4+x9+x14+x19+x30+x35-x37=0
x5+x10+x15+x20+x25+x36-x37=0
x6+x7+x14+x21+x28+x35-x37=0
x5+x12+x13+x20+x27+x34-x37=0
x4+x11+x18+x19+x26+x33-x37=0
x3+x10+x17+x24+x25+x32-x37=0
x2+x9+x16+x23+x30+x31-x37=0
x1+x8+x15+x22+x30+x35-x37=0
x1+x8+x15+x23+x28+x36-x37=0
x1+x8+x15+x24+x28+x35-x37=0
x1+x8+x15+x24+x29+x34-x37=0
x1+x8+x16+x21+x29+x36-x37=0
x1+x8+x16+x21+x30+x35-x37=0
x1+x8+x16+x23+x27+x36-x37=0
x1+x8+x16+x23+x30+x33-x37=0
x1+x8+x16+x24+x27+x35-x37=0
x1+x8+x16+x24+x29+x33-x37=0
x1+x8+x17+x21+x28+x36-x37=0
x1+x8+x17+x21+x30+x34-x37=0
x1+x8+x17+x22+x27+x36-x37=0
x1+x8+x17+x22+x30+x33-x37=0
x1+x8+x17+x24+x27+x34-x37=0
x1+x8+x17+x24+x28+x33-x37=0
x1+x8+x18+x21+x28+x35-x37=0
x1+x8+x18+x21+x29+x34-x37=0
x1+x8+x18+x22+x27+x35-x37=0
x1+x8+x18+x22+x29+x33-x37=0
x1+x8+x18+x23+x27+x34-x37=0
x1+x8+x18+x23+x28+x33-x37=0
x1+x9+x14+x22+x29+x36-x37=0
x1+x9+x14+x22+x30+x35-x37=0
x1+x9+x14+x23+x28+x36-x37=0

Решить кто-нибудь может эту систему в пакете математических программ?

[Someone]

x1 = - x12 - x18 - x24 - x30 - x32 - x33 - x34 - x35 + 3 x36 + x37
x2 = - x12 + x14 - 2 x18 - x24 - x30 - x31 - x32 - x33 - x34 - x35 + 4 x36 + x37
x3 = - x12 - x13 - x24 - x30 - x32 - x34 - x35 + 2 x36 + x37
x4 = - x12 - x18 - x19 - x30 - x32 - x33 - x35 + 2 x36 + x37
x5 = - x12 - x13 - x20 - x30 - x33 - x34 + x36 + x37
x6 = - x12 - x18 - x24 - x30 - x31 - x32 - x33 - x34 - x35 + 4 x36 + x37
x7 = x12 - x14 + x18 + x31 + x32 - 2 x36
x8 = x12 + x32 - x36
x9 = x12 - x14 + x18 + x32 + x33 - 2 x36
x10 = x12 + x13 - x18 - x25 + x30 + x34 - x36
x11 = x12 - x26 + x30 + x32 + x35 - 2 x36
x15 = x18 + x33 - x36
x16 = x18 + x34 - x36
x17 = x18 + x35 - x36
x21 = x24 + x33 - x36
x22 = x24 + x34 - x36
x23 = x24 + x35 - x36
x27 = x30 + x33 - x36
x28 = x30 + x34 - x36
x29 = x30 + x35 - x36

[Nataly-Mak]

Someone
огромное спасибо.
В каком пакете решали?

Сейчас буду "колдовать" с решением

[Someone]

Wolfram Mathematica 5.1

[Nataly-Mak]

Это квадрат Стенли 4-го порядка из чисел Смита с индексом 6847:

3046 3946 5242 2785
265 1165 2461 4
382 1282 2578 121
319 1219 2515 58

В минимальности индекса не уверена.

Кстати, наименьший пандиагональный квадрат 4-го порядка из чисел Смита имеет магическую константу 14560 (автор maxal). Можно найти примитивный квадрат, соответствующий этому квадрату, это будет квадрат Стенли с индексом 14560.

[Nataly-Mak]

Получила ещё ряд квадратов Стенли из чисел Смита, наименьший индекс пока у меня 3040:

706 895 2362 562
166 355 1822 22
265 454 1921 121
202 391 1858 58

Здесь сложность в том, что индекс квадрата S оказался в числе свободных неизвестных, а он изменяется в огромном интервале, начиная от верхней границы 14560 (с шагом 1).

[Nataly-Mak]

Поработала с системой уравнений, описывающих квадрат Стенли 6-го порядка (см. решение системы чуть выше).
Первое, что проверила: удовлетворяются ли следующие уравнения системы полученным общим решением.
Беру 38-ое уравнение системы (всего в системе 720 уравнений):

x1 + x9 + x14 + x23 + x30 + x34 - x37 = 0

подставляю значения неизвестных из решения:

- x12 - x18 - x24 - x30 - x32 - x33 - x34 - x35 + 3 x36 + x37+ x12 - x14 + x18 + x32 + x33 - 2 x36 + x14 + x24 + x35 - x36 + x30 + x34 - x37 = 0

после приведения подобных членов получаю тождество.

Проверила ещё 39-ое уравнение, тоже тождественно удовлетворяется. Конечно, все оставшиеся 681 уравнений проверять не буду

Весьма интересный факт! Получается, что квадрат Стенли 6-го порядка полностью определяется системой 37 уравнений с 37 неизвестными. Может быть, это очевидный факт? Или требуется доказательство?

Далее реализовала полученное решение системы программно. Программа работает, тестирование прошла, вот этот известный квадрат Стенли из простых чисел получен:

7 11 17 37 67 191
43 47 53 73 103 227
79 83 89 109 139 263
97 101 107 127 157 281
163 167 173 193 223 347
307 311 317 337 367 491

Индекс квадрата равен 984.

Но работает программа очень долго.
Как мне кажется, построение примитивного квадрата 6-го порядка будет выполняться намного быстрее. В полученном общем решении системы имеем 17 свободных переменных и 20 зависимых. 17 свободных переменных - это много. При построении примитивного квадрата 6-го порядка при неизвестной константе имеем всего 11 свободных переменных.

Сейчас буду писать программу построения примитивного квадрата 6-го порядка.
Задача такая: найти квадрат Стенли 6-го порядка из простых чисел с индексом меньше 984.

-- Вс май 27, 2012 12:13:42 --

И вот такая мысль пришла: а что если решить систему из 12 уравнений (в этих уравнениях записаны суммы чисел по главным и разломанным диагоналям):

x1+x8+x15+x22+x29+x36-x37=0
x6+x11+x16+x21+x26+x31-x37=0
x1+x12+x17+x22+x27+x32-x37=0
x2+x7+x18+x23+x28+x33-x37=0
x3+x8+x13+x24+x29+x34-x37=0
x4+x9+x14+x19+x30+x35-x37=0
x5+x10+x15+x20+x25+x36-x37=0
x6+x7+x14+x21+x28+x35-x37=0
x5+x12+x13+x20+x27+x34-x37=0
x4+x11+x18+x19+x26+x33-x37=0
x3+x10+x17+x24+x25+x32-x37=0
x2+x9+x16+x23+x30+x31-x37=0

Любопытно, какое решение будет у этой системы. Может быть, в этом случае количество свободных неизвестных будет меньше?
И будет ли решение этой системы полностью определять квадрат Стенли 6-го порядка? Другими словами: будет ли решение этой системы являться общей формулой квадрата Стенли 6-го порядка?

Someone
если вас не затруднит, решите, пожалуйста, ещё эту систему.

Кстати, тот пакет, который вы указали, можно скачать бесплатно? Насколько мне известно, например, пакет Maple бесплатно не дают

-- Вс май 27, 2012 12:55:01 --

Осенило...

Взяла примитивный квадрат 7-го порядка из простых чисел с константой 1649 (автор Pavlovsky):

11 17 31 67 137 181 251
23 29 43 79 149 193 263
41 47 61 97 167 211 281
53 59 73 109 179 223 293
107 113 127 163 233 277 347
353 359 373 409 479 523 593
443 449 463 499 569 613 683

Удалила последнюю строку и последний столбец, получила примитивный квадрат 6-го порядка с константой 966:

11 17 31 67 137 181
23 29 43 79 149 193
41 47 61 97 167 211
53 59 73 109 179 223
107 113 127 163 233 277
353 359 373 409 479 523

Итак, получен квадрат Стенли 6-го порядка из простых чисел с индексом 966.
Уже улучшила чуть-чуть результат
Но вполне возможно, что это не минимальный индекс.

Интересный факт: мой примитивный квадрат 7-го порядка с константой 1597 дал примитивный квадрат 6-го порядка с константой 984, а примитивный квадрат 7-го порядка Pavlovsky с константой 1649 дал примитивный квадрат 6-го порядка с константой 966. Хотя ничего удивительного в этом факте нет.

[Someone]

Nataly-Mak в сообщении #577021 писал(а):

если вас не затруднит, решите, пожалуйста, ещё эту систему.

x1 = - x12 - x17 - x22 - x27 - x32 + x37
x2 = - x11 + x14 - x16 - x18 - x23 - x26 - x31 - x33 + x35 + x37
x3 = - x12 - x13 + x15 - x17 - x24 - x27 - x32 - x34 + x36 + x37
x4 = - x11 - x18 - x19 - x26 - x33 + x37
x5 = - x12 - x13 - x20 - x27 - x34 + x37
x6 = - x11 - x16 - x21 - x26 - x31 + x37
x7 = x11 - x14 + x16 + x26 - x28 + x31 - x35
x8 = x12 - x15 + x17 + x27 - x29 + x32 - x36
x9 = x11 - x14 + x18 + x26 - x30 + x33 - x35
x10 = x12 + x13 - x15 - x25 + x27 + x34 - x36

Nataly-Mak в сообщении #577021 писал(а):

Может быть, в этом случае количество свободных неизвестных будет меньше?

Уменьшение количества уравнений в системе, вообще говоря, увеличивает количество свободных переменных. А переменная $x23$ у Вас совсем выпала.

Nataly-Mak в сообщении #577021 писал(а):

Кстати, тот пакет, который вы указали, можно скачать бесплатно? Насколько мне известно, например, пакет Maple бесплатно не дают

Этот, вообще говоря, тоже. Но есть же пираты...

Nataly-Mak в сообщении #577021 писал(а):

всего в системе 720 уравнений

...

Nataly-Mak в сообщении #577021 писал(а):

Конечно, все оставшиеся 681 уравнений проверять не буду

Может быть, ситуация не столь безнадёжная? Если Вы напишете правило образования этих 720 уравнений, я могу попробовать что-то сделать.

[Nataly-Mak]

Someone в сообщении #577055 писал(а):

А переменная $x23$ у Вас совсем выпала.

А почему она выпала? В системе уравнений она ведь есть (см. 4-ое и последнее уравнения).
В системе уравнений присутствуют все 37 неизвестных.

Цитата:

Этот, вообще говоря, тоже. Но есть же пираты...

А, ну да... Только я с ними не знакома

Цитата:

Может быть, ситуация не столь безнадёжная? Если Вы напишете правило образования этих 720 уравнений, я могу попробовать что-то сделать.

Правило образования очень простое: в квадрат 6х6 записываются 36 неизвесных xi построчно по порядку.
Далее выписываются суммы всех комбинаций элементов квадрата по 6 штук, таких, что никакие два из них не принадлежат одной строке или одному столбцу. Вот сумма всех таких наборов из 6 элементов должна быть постоянным числом, это и есть индекс кадрата Стенли. Я обозначила его x37, это 37-ая неизвестная.
Я даже написала программку, которая даёт мне все эти комбинации элементов, их будет всего 720.

Посмотрела на решение. Неизвестная x23 в нём присутствует. Однако да, свободных неизвестных стало больше. Это плохо.
Спасибо за решение.

-- Вс май 27, 2012 13:36:30 --

Вот в каком виде выдаёт комбинации элементов квадрата моя программа, она заодно выполняет проверку (то есть вычисляет сумму элементов и проверяет её):

A 1  1  11    A 2  2  29    A 3  3  61    A 4  4  109   A 5  5  233   A 6  6  523 
A 1  1  11    A 2  2  29    A 3  3  61    A 4  4  109   A 5  6  277   A 6  5  479 
A 1  1  11    A 2  2  29    A 3  3  61    A 4  5  179   A 5  4  163   A 6  6  523 
A 1  1  11    A 2  2  29    A 3  3  61    A 4  5  179   A 5  6  277   A 6  4  409 
A 1  1  11    A 2  2  29    A 3  3  61    A 4  6  223   A 5  4  163   A 6  5  479 
A 1  1  11    A 2  2  29    A 3  3  61    A 4  6  223   A 5  5  233   A 6  4  409 
A 1  1  11    A 2  2  29    A 3  4  97    A 4  3  73    A 5  5  233   A 6  6  523 
A 1  1  11    A 2  2  29    A 3  4  97    A 4  3  73    A 5  6  277   A 6  5  479 
A 1  1  11    A 2  2  29    A 3  4  97    A 4  5  179   A 5  3  127   A 6  6  523 
A 1  1  11    A 2  2  29    A 3  4  97    A 4  5  179   A 5  6  277   A 6  3  373 
A 1  1  11    A 2  2  29    A 3  4  97    A 4  6  223   A 5  3  127   A 6  5  479 
A 1  1  11    A 2  2  29    A 3  4  97    A 4  6  223   A 5  5  233   A 6  3  373 
A 1  1  11    A 2  2  29    A 3  5  167   A 4  3  73    A 5  4  163   A 6  6  523 
A 1  1  11    A 2  2  29    A 3  5  167   A 4  3  73    A 5  6  277   A 6  4  409 
A 1  1  11    A 2  2  29    A 3  5  167   A 4  4  109   A 5  3  127   A 6  6  523 
A 1  1  11    A 2  2  29    A 3  5  167   A 4  4  109   A 5  6  277   A 6  3  373 
A 1  1  11    A 2  2  29    A 3  5  167   A 4  6  223   A 5  3  127   A 6  4  409 
A 1  1  11    A 2  2  29    A 3  5  167   A 4  6  223   A 5  4  163   A 6  3  373 
. . . . . 

Здесь элементы квадрата обозначаются стандартно: A11, A12, A13, ...
В данном примере выполнялась проверка квадрата Стенли с индексом 966 (этот квадрат приведён чуть выше). Программа выполняет полную проверку, то есть она проверяет все 720 комбинаций элементов.

-- Вс май 27, 2012 13:55:04 --

Someone в сообщении #577055 писал(а):

Уменьшение количества уравнений в системе, вообще говоря, увеличивает количество свободных переменных.

Хм... Тогда надо решить систему 720 уравнений

[Someone]

Nataly-Mak в сообщении #577061 писал(а):

А почему она выпала?

Нет, не выпала, случайно прозевал.

Nataly-Mak в сообщении #577061 писал(а):

Правило образования очень простое: в квадрат 6х6 записываются 36 неизвесных xi построчно по порядку.
Далее выписываются суммы всех комбинаций элементов квадрата по 6 штук, таких, что никакие два из них не принадлежат одной строке или одному столбцу. Вот сумма всех таких наборов из 6 элементов должна быть постоянным числом, это и есть индекс кадрата Стенли.

Да, я немного подумал и догадался. Так что Вы мою догадку подтвердили. Сейчас напишу, как в указанном мной пакете составляется и решается такая система. Результаты выполнения команд я опускаю ввиду их несусветной длины.

Формирование списка перестановок из $6$ элементов $\{1,2,3,4,5,6\}$:

A=Permutations[{1,2,3,4,5,6}]

Формирование системы уравнений (с Вашими обозначениями неизвестных; длинная команда):

B=ToExpression[Table["x"<>ToString[A[[k,1]]]<>"+x"<>ToString[6+A[[k,2]]]<>
"+x"<>ToString[12+A[[k,3]]]<>"+x"<>ToString[18+A[[k,4]]]<>"+x"<>
ToString[24+A[[k,5]]]<>"+x"<>ToString[30+A[[k,6]]]<>"==x37",{k,720}]]

Команда "<>" объединяет строки (конкатенация строк).

Формирование списка неизвестных:

X=ToExpression[Append[Flatten[Table["x"<>ToString[6m+n-6],{m,6},{n,6}]],x37]]

Команда "Flatten" удаляет внутренние скобки в двухуровневом списке, который формируется командой "Table" в данном случае. Результат:

{x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12, x13, x14, x15, x16, x17,
x18, x19, x20, x21, x22, x23, x24, x25, x26, x27, x28, x29, x30, x31, x32,
x33, x34, x35, x36, x37}

Решение полученной системы уравнений:

Solve[B,X]

Результат:

x1 = - x12 - x18 - x24 - x30 - x32 - x33 - x34 - x35 + 3 x36 + x37
x2 = - x12 - x18 - x24 - x30 - x31 - x33 - x34 - x35 + 3 x36 + x37
x3 = - x12 - x18 - x24 - x30 - x31 - x32 - x34 - x35 + 3 x36 + x37
x4 = - x12 - x18 - x24 - x30 - x31 - x32 - x33 - x35 + 3 x36 + x37
x5 = - x12 - x18 - x24 - x30 - x31 - x32 - x33 - x34 + 3 x36 + x37
x6 = - x12 - x18 - x24 - x30 - x31 - x32 - x33 - x34 - x35 + 4 x36 + x37
x7 = x12 + x31 - x36
x8 = x12 + x32 - x36
x9 = x12 + x33 - x36
x10 = x12 + x34 - x36
x11 = x12 + x35 - x36
x13 = x18 + x31 - x36
x14 = x18 + x32 - x36
x15 = x18 + x33 - x36
x16 = x18 + x34 - x36
x17 = x18 + x35 - x36
x19 = x24 + x31 - x36
x20 = x24 + x32 - x36
x21 = x24 + x33 - x36
x22 = x24 + x34 - x36
x23 = x24 + x35 - x36
x25 = x30 + x31 - x36
x26 = x30 + x32 - x36
x27 = x30 + x33 - x36
x28 = x30 + x34 - x36
x29 = x30 + x35 - x36

Это решение я проверил подстановкой чисел из квадрата в сообщении http://dxdy.ru/post577021.html#p577021.

Поскольку это решение полной системы (в нём действительно меньше свободных переменных, чем в предыдущем), нет необходимости проверять в программе все $720$ равенств (и вообще какие-либо уравнения из этой системы).