Количество коеффициентов равных 1.

[Leox]

Дано многочлен $P_n(x)$ над $\mathbb{C}$:

$$ P_n(x)=a_0+a_1x+ \cdots+a_n x^n. $$

Возможно ли как-то при помощи различных манипуляций с $P_n(x)$ найти количество коеффициентов $a_i$ равных 1?

[svv]

Чуточку упростим: от $P_n(x)$ отнимем $1+x+...+x^n$. Теперь надо найти количество нулевых коэффициентов.

[Leox]

Спасибо, но пока не видно что делать дальше

[venco]

Дифференцировать?

[Leox]

И что хорошего дает дифференцирование?

[мат-ламер]

Можно сразу в ряд Тейлора разложить, чтобы не дифференцировать несколько раз.

[Yu_K]

Берем значение в нуле - это нулевой коэффициент - проверим равен он 1 или нет. Далее отнимаем от многочлена нулевой коэффициент и делим на z и повторяем процедуру.

[Leox]

Yu_K в сообщении #575770 писал(а):

Берем значение в нуле - это нулевой коэффициент - проверим равен он 1 или нет. Далее отнимаем от многочлена нулевой коэффициент и делим на z и повторяем процедуру.

Нельзя проверять. Тогда достаточно было бы просто проверить все коеффициенты.

[venco]

Тогда скажите, что можно. (n)-ю производную можно в нуле посчитать?

[Vince Diesel]

Тогда какие манипуляции предполагаются/желательны/допустимы (значения в точках, производные, интегралы...)? А то на любой способ можно сказать, а вот это нельзя

[lek]

Leox, дайте решение вашей задачи для $n=1$ и (или) $n=2$. Тогда будет понятно, что вы хотите...

[Leox]

Можно находить поизводную, интегралы, значения в точках...тоесть любые действия но над всем $P_n(x)$ а не над его частями.

-- Чт май 24, 2012 19:53:34 --

venco в сообщении #575781 писал(а):

Тогда скажите, что можно. (n)-ю производную можно в нуле посчитать?

Можно.
Суть задачи вот в чем - предположим что многочлен задан сложным выражением, например, типа формулы Родрига или чтото в етом роде, и у нас нет непосредственого доступа к каждому коеффициенту. Можно ли как то окольным путем найти число коеффициентов равных 1(или уже, нулю как было показано)

[AV_77]

1) Вычисляем $P(0)$. Если 1, то $a_0 = 1$.
2) Вычисляем $P'(0)$. Если 2, то $a_1 = 1$.
3) Вычисляем $P''(0)$. Если 6, то $a_2 = 1$ и т.д.

[lek]

Находим значения $P_n^{(k)}(x)$, где $k=0,\dots,n$, в нуле. Если получаем $P_n^{(k)}(0)=k!$, то коэффициент $a_{k}=1$.

[Leox]

lek в сообщении #575809 писал(а):

Находим значения $P_n^{(k)}(x)$, где $k=0,\dots,n$, в нуле. Если получаем $P_n^{(k)}(0)=k!$, то коэффициент $a_{k}=1$.

Проверять нельзя. И нужна сума единичных, а не значение конкретного коеффициента.