2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Количество коеффициентов равных 1.
Сообщение24.05.2012, 18:22 
Дано многочлен $P_n(x)$ над $\mathbb{C}$:
$$
P_n(x)=a_0+a_1x+ \cdots+a_n x^n.
$$
Возможно ли как-то при помощи различных манипуляций с $P_n(x)$ найти количество коеффициентов $a_i$ равных 1?

 
 
 
 Re: Количество коеффициентов равных 1.
Сообщение24.05.2012, 18:30 
Аватара пользователя
Чуточку упростим: от $P_n(x)$ отнимем $1+x+...+x^n$. Теперь надо найти количество нулевых коэффициентов.

 
 
 
 Re: Количество коеффициентов равных 1.
Сообщение24.05.2012, 18:53 
Спасибо, но пока не видно что делать дальше

 
 
 
 Re: Количество коеффициентов равных 1.
Сообщение24.05.2012, 19:11 
Дифференцировать?

 
 
 
 Re: Количество коеффициентов равных 1.
Сообщение24.05.2012, 19:15 
И что хорошего дает дифференцирование?

 
 
 
 Re: Количество коеффициентов равных 1.
Сообщение24.05.2012, 19:53 
Аватара пользователя
Можно сразу в ряд Тейлора разложить, чтобы не дифференцировать несколько раз.

 
 
 
 Re: Количество коеффициентов равных 1.
Сообщение24.05.2012, 20:03 
Берем значение в нуле - это нулевой коэффициент - проверим равен он 1 или нет. Далее отнимаем от многочлена нулевой коэффициент и делим на z и повторяем процедуру.

 
 
 
 Re: Количество коеффициентов равных 1.
Сообщение24.05.2012, 20:22 
Yu_K в сообщении #575770 писал(а):
Берем значение в нуле - это нулевой коэффициент - проверим равен он 1 или нет. Далее отнимаем от многочлена нулевой коэффициент и делим на z и повторяем процедуру.


Нельзя проверять. Тогда достаточно было бы просто проверить все коеффициенты.

 
 
 
 Re: Количество коеффициентов равных 1.
Сообщение24.05.2012, 20:26 
Тогда скажите, что можно. (n)-ю производную можно в нуле посчитать?

 
 
 
 Re: Количество коеффициентов равных 1.
Сообщение24.05.2012, 20:32 
Тогда какие манипуляции предполагаются/желательны/допустимы (значения в точках, производные, интегралы...)? А то на любой способ можно сказать, а вот это нельзя :-)

 
 
 
 Re: Количество коеффициентов равных 1.
Сообщение24.05.2012, 20:38 
Аватара пользователя
Leox, дайте решение вашей задачи для $n=1$ и (или) $n=2$. Тогда будет понятно, что вы хотите...

 
 
 
 Re: Количество коеффициентов равных 1.
Сообщение24.05.2012, 20:48 
Можно находить поизводную, интегралы, значения в точках...тоесть любые действия но над всем $P_n(x)$ а не над его частями.

-- Чт май 24, 2012 19:53:34 --

venco в сообщении #575781 писал(а):
Тогда скажите, что можно. (n)-ю производную можно в нуле посчитать?

Можно.
Суть задачи вот в чем - предположим что многочлен задан сложным выражением, например, типа формулы Родрига или чтото в етом роде, и у нас нет непосредственого доступа к каждому коеффициенту. Можно ли как то окольным путем найти число коеффициентов равных 1(или уже, нулю как было показано)

 
 
 
 Re: Количество коеффициентов равных 1.
Сообщение24.05.2012, 20:55 
1) Вычисляем $P(0)$. Если 1, то $a_0 = 1$.
2) Вычисляем $P'(0)$. Если 2, то $a_1 = 1$.
3) Вычисляем $P''(0)$. Если 6, то $a_2 = 1$ и т.д.

 
 
 
 Re: Количество коеффициентов равных 1.
Сообщение24.05.2012, 20:56 
Аватара пользователя
Находим значения $P_n^{(k)}(x)$, где $k=0,\dots,n$, в нуле. Если получаем $P_n^{(k)}(0)=k!$, то коэффициент $a_{k}=1$.

 
 
 
 Re: Количество коеффициентов равных 1.
Сообщение24.05.2012, 21:04 
lek в сообщении #575809 писал(а):
Находим значения $P_n^{(k)}(x)$, где $k=0,\dots,n$, в нуле. Если получаем $P_n^{(k)}(0)=k!$, то коэффициент $a_{k}=1$.

Проверять нельзя. И нужна сума единичных, а не значение конкретного коеффициента.

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group