Все группы из 6 элементов

[apriv]

Unconnected в сообщении #574416 писал(а):

Хорошо, перебрали всякие порядки, придумали группы, а надо ещё что-то сказать, что, мол, других нет?

Еще раз:

apriv в сообщении #574256 писал(а):

Рассуждение может быть таким: возьмем группу из шести элементов; если в ней есть элемент порядка 6, то..., если нет, но есть элемент порядка 3, то..., и в каждом случае мы выясняем, что группа должна быть изоморфна какой-то из тех, что мы уже знаем.

[Unconnected]

Пусть в группе нет эл-в порядка 6: тогда берем $a$ порядка 3, $M=\left \{ a,a^2,e \right \}$. Элементов мало, беру ещё $b$, если положить что он 3го порядка то противоречие, если второго то появляются $b,ab,a^2b,ba,ba^2$ , причем $b,ab,a^2b \notin M$ и различны между собой. Понятно, что всё будет хорошо, если $ba$ и $ba^2 $ уткнутся в какие-нибудь из существующих: это возможно только при $ba=ab$, $ba^2=a^2b$ или $ba=a^2b, ba^2=ab$. Но что даёт этот факт? Наверное можно потребовать, чтобы умножение выполнялось как-то так (противоречий не возникает), да и группы с этими "разными" умножениями должны быть изоморфны..

[apriv]

Unconnected в сообщении #575276 писал(а):

Пусть в группе нет эл-в порядка 6: тогда берем $a$ порядка 3, $M=\left \{ a,a^2,e \right \}$. Элементов мало, беру ещё $b$, если положить что он 3го порядка то противоречие, если второго то появляются $b,ab,a^2b,ba,ba^2$ , причем $b,ab,a^2b \notin M$ и различны между собой. Понятно, что всё будет хорошо, если $ba$ и $ba^2 $ уткнутся в какие-нибудь из существующих: это возможно только при $ba=ab$, $ba^2=a^2b$ или $ba=a^2b, ba^2=ab$. Но что даёт этот факт? Наверное можно потребовать, чтобы умножение выполнялось как-то так (противоречий не возникает), да и группы с этими "разными" умножениями должны быть изоморфны..

Рисуйте таблицы умножения, что ли, заодно — как только таблица полностью нарисована, мы отождествили нашу группу с какой-то конкретной (только нужно проверить, что группа с такой таблицей действительно существует: проверять ассоциативность по таблице не очень удобно). В Вашем случае, если $ba=ab$, то группа коммутативна и на самом деле в ней все-таки есть элемент порядка 6: это $ab$, так что ничего нового не получаем. А вот во втором случае нужно дорисовать таблицу и понять, что же это за группа такая.

[Unconnected]

Цитата:

если $ba=ab$, то группа коммутативна и на самом деле в ней все-таки есть элемент порядка 6

Ага, точно.. а я думал, что умножение может быть определено и так, и так, и от этого только изоморфизм бы другой был..(который бы переводил эл-т порядка 2 в 3, скажем), но так видать не бывает.
А можно вообще узнать, какой порядок у произведения элементов некоторых порядков (может даже вне контекста этой группы из 6 эл-в)?

А группа нужная это симметрии треугольника, там элемент порядка 3 это вращение на 120, а порядка 2 это композиция любого вращения и отражения.

[Профессор Снэйп]

(Оффтоп)

Joker_vD в сообщении #573950 писал(а):

...рассматриваем множество шестиэлементных групп, вводим отношение эквивалентности "существует изоморфизм", а теперь опишите фактормножество.

Немножко позанудствую. Это не множество, а класс... Хотя для ТС сойдёт и "множество".