Все группы из 6 элементов

[Unconnected]

...с точностью до изоморфизма, мне надо найти. С точностью до изоморфизма это я понял как "две группа "одинаковы", если можно установить изоморфизм подгрупп". Выходит, надо найти группы из 6 элементов, 1)где подгрупп нет(ну единичная не в счёт наверное), 2)потом где подгруппа из 2, 3)из 3, 4)и одновременно из 2 и 3 элементов. (это всё по теореме Лагранжа). Или, может быть в одной группе 2-3 подгруппы из, скажем, двух элементов, и их тоже надо описывать? Кажется так бывает..

1) Группа вращений правильного 6угольника, которые переводят его в себя (?).
2) Сначала хотел взять мультипликативную группа $Z_7$, и в ней подгруппа $6,1$: но тут вроде ещё есть подгруппа из всех нечетных..
3) Подгруппа вращений группы симметрий правильного треугольника.
4) В $S_3$ подгруппы $\left \{ e,(12) \right \}, A_3$ ( вот тут как раз ещё парочка подгрупп из 2х бывает, кажется).

[ИСН]

В тезисе "можно установить изоморфизм подгрупп" одно слово лишнее.

[Unconnected]

Ну я имел в виду, что можно установить биекцию между множествами подгрупп обеих групп, причём чтобы каждому элементу сопоставлялся равномощный. Или что понимать под "с точностью до изоморфизма"?

[Joker_vD]

Unconnected в сообщении #573939 писал(а):

Или что понимать под "с точностью до изоморфизма"?

Вы пишете список из шестиэлементных групп. Любые две группы из этого списка неизоморфны. Любая шестиэлементная группа, не попавшая в этот список, изоморфна кому-то, кто в этот список попал.

Или так: рассматриваем множество шестиэлементных групп, вводим отношение эквивалентности "существует изоморфизм", а теперь опишите фактормножество.

[Unconnected]

Цитата:

Вы пишете список из шестиэлементных групп. Любые две группы из этого списка неизоморфны. Любая шестиэлементная группа, не попавшая в этот список, изоморфна кому-то, кто в этот список попал.

Это понятно: вопрос в том, правильно ли я сужу, что любые две группы изоморфны, если у них одинаковое количество подгрупп из определённого количества элементов; и что они не-изоморфны в противном случае? Это я как бы критерием изоморфизма взял.

[apriv]

Unconnected в сообщении #573952 писал(а):

Цитата:

Вы пишете список из шестиэлементных групп. Любые две группы из этого списка неизоморфны. Любая шестиэлементная группа, не попавшая в этот список, изоморфна кому-то, кто в этот список попал.

Это понятно: вопрос в том, правильно ли я сужу, что любые две группы изоморфны, если у них одинаковое количество подгрупп из определённого количества элементов; и что они не-изоморфны в противном случае? Это я как бы критерием изоморфизма взял.

С чего бы это вдруг? Вы умеете доказывать, что это равносильно изоморфности?

[Unconnected]

Цитата:

С чего бы это вдруг? Вы умеете доказывать, что это равносильно изоморфности?

Ну можно же доказать, что изоморфизм переводит подгруппу в подгруппу(причём два элемента прообраза явно не "слипаются"). этого достаточно?

[apriv]

Unconnected в сообщении #574206 писал(а):

Цитата:

С чего бы это вдруг? Вы умеете доказывать, что это равносильно изоморфности?

Ну можно же доказать, что изоморфизм переводит подгруппу в подгруппу(причём два элемента прообраза явно не "слипаются"). этого достаточно?

Нет, не достаточно.

[Unconnected]

Блин.. ну а как решать это тогда вообще?

[apriv]

Unconnected в сообщении #574225 писал(а):

Блин.. ну а как решать это тогда вообще?

Например, можно посмотреть, какой может быть таблица умножения, каковы могут быть порядки элементов этой группы и как они могут перемножаться. Ну, или вспомнить теоремы Силова, если знаете такие.

[Unconnected]

Пусть посмотрели: порядок элемента группы делит порядок группы. И из чего тут изоморфизм следует?

[apriv]

Unconnected в сообщении #574248 писал(а):

Пусть посмотрели: порядок элемента группы делит порядок группы. И из чего тут изоморфизм следует?

Изоморфизм чего и чего? Вы пока еще ни одной группы из 6 элементов не построили. Рассуждение может быть таким: возьмем группу из шести элементов; если в ней есть элемент порядка 6, то..., если нет, но есть элемент порядка 3, то..., и в каждом случае мы выясняем, что группа должна быть изоморфна какой-то из тех, что мы уже знаем.

[Unconnected]

Цитата:

и в каждом случае мы выясняем, что группа должна быть изоморфна какой-то из тех, что мы уже знаем.

Ну хорошо, пусть есть элемент порядка 6, значит есть два элемента порядка 3, один порядка 2 и ещё один порядка 6 (ну и единица). А изоморфизм, наверное, должен переводить элементы с соответствующими порядками друг в друга, тогда норм будет..
Выходит, группа из 6 эл-в, где есть элемент порядка 6 - циклическая?)

[apriv]

Unconnected в сообщении #574340 писал(а):

Ну хорошо, пусть есть элемент порядка 6, значит есть два элемента порядка 3, один порядка 2 и ещё один порядка 6 (ну и единица). А изоморфизм, наверное, должен переводить элементы с соответствующими порядками друг в друга, тогда норм будет..

Если есть один элемент порядка 6, то эта группа автоматически циклическая и изоморфна $\mathbb Z/6\mathbb Z$: достаточно перевести образующую в образующую, степени окажутся на месте автоматически.

[Unconnected]

Хорошо, перебрали всякие порядки, придумали группы, а надо ещё что-то сказать, что, мол, других нет?