Факторкольцо и гомоморфный образ кольца: изоморфны ли?

[farewe11]

Доброе утро, передо мной стоит задача: задать изоморфизм факторкольца и гомоморфного образа кольца (который существует, по известной теореме).
Вот исходные данные:
- кольцо $A = \binom{a \ b}{b \ a}; a,b \in \mathbb{R}$;
- гомоморфизм: $f(A) = a - b$, то есть $f: A \rightarrow \mathbb{R}$.
Очевидно, что идеалом этого кольца (и ядром гомоморфизма) будет подкольцо матриц с одинаковыми элементами (обозначим за $H$). Тогда факторкольцо будет состоять из классов: $A/H = \{ A_1 + H, A_2 + H,\dots \}$. Прекрасно.
Далее, гомоморфный образ кольца $A$, как мы с грехом пополам выяснили в предыдущей моей теме, совпадает с $\mathbb{R}$.
То есть от меня требуется найти изоморфизм кольца классов вычетов в множество вещественных чисел. То есть каждый класс вычетов ставится в соответствие одному числу из $\mathbb{R}$ (если, разумеется, до этого я нигде не наошибался, не пропустил никаких требований дополнительных). Вот, собственно, в этом и вопрос: можете ли вы увидеть какой-нибудь очевидный изоморфизм?

[Kallikanzarid]

Это выполняется для любого кольца. Может вместо постинга тривиальных вопросов лучше взять и почитать учебник, а?

P.S.: и да, гомоморфизм в доказательстве первой теоремы об изоморфзмах строится явно, так что вперед, к звездам.

[Joker_vD]

farewe11 в сообщении #574913 писал(а):

Вот, собственно, в этом и вопрос: можете ли вы увидеть какой-нибудь очевидный изоморфизм?

Да, это $f$, на который лишь надо взглянуть под другим углом.

[farewe11]

Joker_vD в сообщении #575070 писал(а):

Да, это $f$, на который лишь надо взглянуть под другим углом.

Если применить $f$ к классам вычетов, то каждый класс отобразится в одно число. Ну, вернее, в бесконечный набор, содержащий всего одно число. Но взаимнооднозначного отображения не будет, не изоморфизм это. Можно, конечно, повторяющиеся элементы объединить в один, грубо говоря.. но вряд ли от меня этого хотят. Верно ведь?

[Joker_vD]

farewe11 в сообщении #575258 писал(а):

то каждый класс отобразится в одно число.

Да.

farewe11 в сообщении #575258 писал(а):

вернее, в бесконечный набор, содержащий всего одно число.

Нет.

farewe11 в сообщении #575258 писал(а):

Но взаимнооднозначного отображения не будет

Не угадали.

Что ж, даю задание: убедиться, что отображение $\overline f\colon A/H\to\mathbb R$, действующее по правилу $\overline f(M_1+H)=f(M_1)$, где $M_1\in A$ является, во-первых, корректно заданным отображением, а во-вторых, изоморфизмом.

[farewe11]

Все равно непонятно.

$$\overline f (M_1 + H) = f (M_1) = m, \ m\in \mathbb{R}$$

Уж точно найдется другой элемент $M_2 \in A: f (M_2) = m$.
Ну как это может быть изоморфизмом?

[Joker_vD]

Вот и докажите, что этот ваша $M_2$ обязательно такая, что $M_1+H=M_2+H$. Вы ж изоморфизм факторкольца строите, а не исходного кольца!

[farewe11]

Давайте сначала:

$$A = \{\binom{a \ b}{b \ a}| \ a,b \in \mathbb{R} \}$$

$$f(A) = a - b. \ \operatorname{Im} f = \mathbb{R}, \operatorname{Ker} f =H= \binom{a \ a}{a \ a}$$

$$A/H = \{a + H\ | \ a\in A\}$$

Элементами факторкольца являются смежные классы, в каждом классе бесконечное число элементов. По теореме о гомоморфизмах колец, факторкольцо изоморфно множеству вещественных чисел, то есть каждому классу соответствует одно число, и, соответственно, наоборот. До сих пор всё правильно? Если да, то продолжим.
Пусть $A_1, A_2 \in A$, $f(A_1) = f(A_2)$. Выглядит это так:

$$A_1 = \binom{a_1 \ b_1}{b_1 \ a_1}; \ A_2 = \binom{a_2 \ b_2}{b_2 \ a_2}; \ a_1 - b_1 = a_2 - b_2$$

Тогда эти элементы образуют следующие классы:

$$A_1 + H = \{\binom{(a_1+c) \ (b_1+c)}{(b_1+c) \ (a_1+c)} | c\in H \}$$

$$A_2 + H = \{\binom{(a_2+c) \ (b_2+c)}{(b_2+c) \ (a_2+c)} | c\in H \}$$

Если верить Joker_vD, то эти 2 класса - равны. Доказать это я не могу. Казалось бы, можно применить теорему о том, что смежные классы по одной подгруппе либо не пересекаются, либо совпадают, но тогда получается, что вообще все смежные классы в нашем случае совпадают. В общем, я запутался совершенно...

[Joker_vD]

farewe11 в сообщении #575421 писал(а):

Если верить Joker_vD, то эти 2 класса - равны. Доказать это я не могу.

$$A_1=\left(\begin{array}{cc}a_1&b_1\\b_1&a_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a_2+(a_1-a_2)&b_2+(b_1-b_2)\\b_2+(b_1-b_2)&a_1+(a_2-a_1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a_2+c&b_2+c\\b_2+c&a_2+c\end{array}\right)\in A_2+H,$$

так как $a_1-a_2=b_1-b_2$. Господи, было бы что доказывать... Или еще один способ: пишете разность $A_1-A_2$ и удостоверяетесь, что она принадлежит $H$.

[farewe11]

Да, действительно задача не из трудных. Спасибо