Антимагические квадраты

[Nataly-Mak]

Написала систему уравнений для АМК(Ст) 4-го порядка.
Вот так выглядит сам квадрат:

x1 x2 x3 x4
x5 x6 x7 x8
x9 x10 x11 x12
x13 x14 x15 x16

А это система уравнений, описывающая АМК(Ст):

x1+x6+x11+x16=S
x4+x7+x10+x13=S
x1+x8+x11+x14=S
x2+x5+x12+x15=S
x3+x6+x9+x16=S
x4+x5+x10+x15=S
x3+x8+x9+x14=S
x2+x7+x12+x13=S
x1+x6+x12+x15=S
x4+x7+x9+x14=S
x1+x8+x10+x15=S
x4+x5+x11+x14=S
x2+x7+x9+x16=S
x3+x6+x12+x13=S
x1+x7+x12+x14=S
x4+x6+x9+x15=S
x4+x6+x11+x13=S
x1+x7+x10+x16=S
x2+x5+x11+x16=S
x3+x8+x10+x13=S
x4+x6+x9+x15=S
x1+x7+x12+x14=S
x3+x5+x12+x14=S
x2+x8+x9+x15=S

Выписывала равенства вручную, может, наврала
Кому не лень, просьба проверить.

Итак, 24 уравнения, 17 неизвестных (S - индекс квадрата, тоже неизвестная величина).

Решить систему надо. Кто поможет?

-- Ср май 23, 2012 12:21:14 --

Pavlovsky в сообщении #574995 писал(а):

Получается, квадрат по Стенли - это обратимый квадрат. Или по Россеру примитивный квадрат. Чего то интересных проблем для поиска пока не видно.

Во-первых, обратимый квадрат и примитивный квадрат - это всё-таки не одно и то же. Обратимый квадрат всегда является примитивным квадратом, а вот наоборот неверно.

Во-вторых, интересно строить нетрадиционные АМК(Ст), что я уже и начала делать.

Кстати, можно проверить: взять любой примитивный квадрат из простых чисел, например, 5-го порядка (у нас таких квадратов море) и проверить, является ли он АМК(Ст). Скорее всего, не является. В примтивном квадрате одинаковые суммы дадут только главные и все разломанные диагонали, но это далеко не все суммы по Стенли.

-- Ср май 23, 2012 12:47:07 --

Да, похоже любой примитивный квадрат (по Россеру) тоже является АМК(Ст).
Вот этот примитивный квадрат 5-го порядка из простых чисел, например:

5 7 17 31 131
11 13 23 37 137
41 43 53 67 167
71 73 83 97 197
101 103 113 127 227

(Этот квадрат, между прочим, обратимым не является.)

Проверила несколько комбинаций элементов, сумма получается 395. Наверное, сам метод построения примитивного квадрата обеспечивает равенство всех нужных сумм.
Итак, верно, что любой примитивный квадрат является АМК(Ст). Верно ли обратное утверждение: любой АМК(Ст) является примитивным квадратом по Россеру?

А что проще строить - примитивный квадрат или АМК(Ст)?

-- Ср май 23, 2012 13:11:32 --

Тогда вот этот примитивный квадрат 4-го порядка из простых чисел:

13 103 83 53
89 47 19 97
43 73 113 23
107 29 37 79

является АМК(Ст) с индексом 252.

(примитивный квадрат из моей статьи "Нетрадиционные пандиагональные квадраты (часть I))

А можно ли построить АМК(Ст) 4-го порядка из простых чисел с меньшим индексом?
Кстати, наименьший пандиагональный квадрат 4-го порядка из простых чисел имеет магическую константу 240 (см. A179440).

И возникает вопрос: соответствует ли наименьшему пандиагональному квадрату с константой 240 примитивный квадрат Россера? Если да, то он и будет АМК(Ст) с индексом 240.

Наименьший пандиагональный квадрат 4-го порядка из простых чисел был построен мной по формуле Бергхольта, а не с помощью примитивного квадрата Россера.

[Pavlovsky]

maxal в сообщении #574943 писал(а):

OK. На самом деле только квадраты с элементами вида $m_{i,j}=a_i+b_j$, где $a_1, \dots, a_n$ и $b_1, \dots, b_n$ - фиксированные числа, будут квадратами Стенли.

Примитивный квадрат обладает свойством.
$m_{i,j}+m_{k,l}=m_{i,l}+m_{k,j}$

Легко доказать квадрат Стенли является примитивным.

Обратное утверждение, что примитивный квадрат является квадратом Стенли сходу доказать не удлось. Но очевидно, что это так.

То есть квадрат Стенли и примитивный квадрат эквивалентные понятия. Примитивных квадратов, в свое время мы настроили великое множество. Посмотрел у себя в базе, примитивных квадратов, всяких, множество.

[Nataly-Mak]

Вот примитивный квадрат 4-го порядка, соответствующий наименьшему пандиагональному квадрату с магической константой 240:

13 37 7 31
79 103 73 97
23 47 17 41
89 113 83 107

Это и будет АКМ(Ст) с индексом 240.

Ещё меньше можно сделать индекс АМК(Ст) 4-го порядка из простых чисел?

Pavlovsky
а нет ли в вашей БД примитивного квадрата 7-го порядка с константой меньше 1597?
Заглохла задача поиска наименьшего пандиагонального квадрата 7-го порядка из простых чисел.

Может быть, квадрат Стенли 7-го порядка из простых чисел с индексом $S<1597$ кто построит?
А вот получится ли ещё из квадрата Стенли пандиагональный квадрат с помощью преобразования Россера?

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #575034 писал(а):

а нет ли в вашей БД примитивного квадрата 7-го порядка с константой меньше 1597

У меня в базе даже с константой 1597 нет. Автор вроде SVB, надо у него спрашивать. Вроде как SVB, путем полного перебора доказал, что регулярный пандиоганальный квадрат имеет минимальную константу 1597. То есть и примитивный квдарат с такой констатной будет минимальным.

[Nataly-Mak]

Пандиагональный квадрат 7-го порядка (из простых чисел) с магической константой 1597 принадлежит мне.
Минимальность этой магической константы пока никто не доказал, увы.
Или я чего-то пропустила где-то?

[Pavlovsky]

Зато есть примитивный из простых чисел порядка 11, константа=420409

521   2917   5857   7717   7753   7789   8713   9649   11519   12241   17863
3671   6067   9007   10867   10903   10939   11863   12799   14669   15391   21013
6491   8887   11827   13687   13723   13759   14683   15619   17489   18211   23833
8081   10477   13417   15277   15313   15349   16273   17209   19079   19801   25423
12041   14437   17377   19237   19273   19309   20233   21169   23039   23761   29383
18671   21067   24007   25867   25903   25939   26863   27799   29669   30391   36013
25301   27697   30637   32497   32533   32569   33493   34429   36299   37021   42643
30851   33247   36187   38047   38083   38119   39043   39979   41849   42571   48193
36821   39217   42157   44017   44053   44089   45013   45949   47819   48541   54163
84191   86587   89527   91387   91423   91459   92383   93319   95189   95911   101533
106961   109357   112297   114157   114193   114229   115153   116089   117959   118681   124303

[Nataly-Mak]

И что? Этот квадрат мне известен.
У меня есть и с меньшей константой примитивный квадрат 11-го порядка из простых чисел - 198341.

-- Ср май 23, 2012 14:11:55 --

Pavlovsky в сообщении #575049 писал(а):

Вроде как SVB, путем полного перебора доказал, что регулярный пандиоганальный квадрат имеет минимальную константу 1597. То есть и примитивный квдарат с такой констатной будет минимальным.

Весьма интересно! Где об этом сообщалось, можно узнать?
Я недавно писала об этой задаче в теме "Магические квадраты" (см. стр. 157).
Но svb там не сообщил, что он доказал минимальность константы 1597 (хотя бы для регулярных пандиагональных квадратов).

-- Ср май 23, 2012 14:40:58 --

Ну, с пандиагональным и соответствующим ему примитивным квадратами 4-го порядка всё просто получилось.
А вот наименьший пандиагональный квадрат 6-го порядка из простых чисел с магической константой 486 (автор svb):

5 79 47 163 179 13 
61 149 89 17 103 67 
83 97 101 23 43 139 
29 7 107 127 59 157 
109 41 131 137 31 37 
199 113 11 19 71 73

Этот квадрат не имеет никакого отношения к примитивным квадратам Россера, ибо построен совсем по другому алгоритму.

Можно ли из этого квадрата получить квадрат Стенли с индексом 486?
Хорошая задача!

[Nataly-Mak]

А это совершенный квадрат 6-го порядка из простых чисел:

149 9161 2309 6701 2609 8861
9067 1483 6907 3943 6607 1783
4139 5171 6299 2711 6599 4871
3229 7321 1069 9781 769 7621
5987 3323 8147 863 8447 3023
7219 3331 5059 5791 4759 3631

Есть у нас и идеальный квадрат 6-го порядка из простых чисел (наименьший, магическая константа 990; автор maxal).

Может быть, из этих квадратов квадрат Стенли 6-го порядка из простых чисел возможно как-нибудь получить?

Pavlovsky
вот вам и задача для поиска
примитивных квадратов 6-го порядка нету у вас?
Как построить квадрат Стенли 6-го порядка из простых чисел? А?
В таком квадрате должно быть 720 одинаковых сумм! Замучаетесь такой квадрат строить.

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #575100 писал(а):

Pavlovskyвот вам и задача для поиска примитивных квадратов 6-го порядка нету у вас?Как построить квадрат Стенли 6-го порядка из простых чисел? А?В таком квадрате должно быть 720 одинаковых сумм! Замучаетесь такой квадрат строить.

Ок цель поставлена. Задача не очень сложная.

[Nataly-Mak]

Pavlovsky в сообщении #575263 писал(а):

Задача не очень сложная.

Отлично!
Наименьшие квадраты Стенли порядков 1-5 из простых чисел у меня уже имеются.
Правда в минимальности пока не уверена. Но если вы утверждаете, что множество примитивных квадратов = множеству квадратов Стенли, то да, все квадраты Стенли наименьшие.

[Nataly-Mak]

Первое приближение к решению поставленной задачи уже есть:

3 5 7 11 13 15
17 19 21 25 27 29
31 33 35 39 41 43
59 61 63 67 69 71
73 75 77 81 83 85
87 89 91 95 97 99

[этот примитивный квадрат 6-го порядка из той же статьи "Нетрадиционные пандиагональные квадраты (часть I)"]

Если утверждение "Любой примитивный квадрат является квадратом Стенли" верно, то представленный квадрат есть нетрадиционный квадрат Стенли 6-го порядка с индексом 306.
Но в этом квадрате не все числа простые.

Я проверила вручную суммы нескольких комбинаций элементов, не являющихся никакой диагональю, эти суммы равны 306. Но чтобы проверить все 720 комбинаций элементов, надо писать программу, вручную это не проверишь.

Pavlovsky
ваш ход

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #574996 писал(а):

Тогда вот этот примитивный квадрат 4-го порядка из простых чисел:

13 103 83 53
89 47 19 97
43 73 113 23
107 29 37 79

является АМК(Ст) с индексом 252.

(примитивный квадрат из моей статьи "Нетрадиционные пандиагональные квадраты (часть I))

Здесь приведён не примитивный квадрат, а полученный из него пандиагональный квадрат.
Примитивный квадрат вот:

13 23 73 83
19 29 79 89
37 47 97 107
43 53 103 113

Ошиблась, скопировала не тот квадрат.

[maxal]

Pavlovsky в сообщении #575024 писал(а):

Примитивный квадрат обладает свойством.
$m_{i,j}+m_{k,l}=m_{i,l}+m_{k,j}$

Легко доказать квадрат Стенли является примитивным.

Обратное утверждение, что примитивный квадрат является квадратом Стенли сходу доказать не удлось. Но очевидно, что это так.

Это следует из того, что любую перестановку можно представить в виде произведения транспозиций (а вышеуказанное тождество по сути означает, что каждая транспозиция не меняет сумму элементов).

[Nataly-Mak]

Pavlovsky в сообщении #575263 писал(а):

Ок цель поставлена. Задача не очень сложная.

Действительно! Как я сразу не сообразила Задача вообще ерундовая.
Берём известный примитивный квадрат 7-го порядка из простых чисел, например, этот:

7 11 17 37 67 191 241
43 47 53 73 103 227 277
79 83 89 109 139 263 313
97 101 107 127 157 281 331
163 167 173 193 223 347 397
307 311 317 337 367 491 541
379 383 389 409 439 563 613

Это построенный мной квадрат с константой 1597.
Выбрасываем последнюю строку и последний столбец и примитивный квадрат 6-го порядка из простых чисел готов:

7 11 17 37 67 191
43 47 53 73 103 227
79 83 89 109 139 263
97 101 107 127 157 281
163 167 173 193 223 347
307 311 317 337 367 491

Поскольку доказано, что множество примитивных квадратов совпадает со множеством квадратов Стенли, приведённый примитивный квадрат является квадратом Стенли 6-го порядка из простых чисел с индексом 984.

Однако индекс довольно большой. Нельзя получить такой квадрат с меньшим индексом?

Теперь идея такая: взять примитивный квадрат 5-го порядка из простых чисел с константой 395 (это у нас наименьший) и достроить его до примитивного квадрата 6-го порядка. Может быть, в этом случае индекс меньше получится.

-- Чт май 24, 2012 15:24:55 --

Нашла в своих черновых файлах достраивание наименьшего примитивного квадрата 5-го порядка из простых чисел с константой 395 (автор этого квадрата Pavlovsky) до примитивного квадрата 7-го порядка:



Теперь надо попробовать достроить до примитивного квадрата 6-го порядка.

[Nataly-Mak]

Достроила примитивный квадрат 5-го порядка с константой 395 из простых чисел до примитивного квадрата 6-го порядка:

5 7 17 31 131 383
11 13 23 37 137 389
41 43 53 67 167 419
71 73 83 97 197 449
101 103 113 127 227 479
431 433 443 457 557 809

Если программа у меня правильно работает, то удалось получить только квадрат с наименьшей константой 1204.
Так что, приведённый выше квадрат Стенли 6-го порядка из простых чисел с индексом 984 пока наименьший.

Параллельная тема на форуме ПЕН:
http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=38106

Кстати, приведённую выше систему из 24 уравнений с 17 неизвестными решила с помощью форумчан с ПЕН. Из 17 неизвестных 7 получились свободными и 10 зависимыми. Надо попробовать написать программу по полученной формуле квадрата Стенли 4-го порядка.

Теперь хочу получить аналогично общую формулу квадрата Стенли 6-го порядка.