Функции и пределы

[Trius]

1)Пусть $f:R\to[0;+\infty)$ и для любых $x,y$ исполняется условие $|f(x)-f(y)|\leq |x-y|$. Доказать, что
а) если для любого $x$ $\lim \limits_{n\to \infty}f(x+n)=\infty$, то $\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=\infty$
б)если для любого $x$ $\lim \limits_{n\to \infty}f(x+n)=a$, то $\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=a$
в) можно ли отбросить условие $|f(x)-f(y)|\leq |x-y|$?

2)Пусть для всех $x\in (\alpha;\beta)$ исполняется условие $\lim\limits_{n\to \infty}(a_ncos nx+b_nsin nx)=0$. Всегда ли $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=0$ и $\lim\limits_{n\to \infty}b_n=0$?
3)Существует ли разрывная в каждой точке функция $f(x)$с областью определения $R$, такая, что для всех $x$ $f(f(f(x)))=x$?

[Руст]

Trius писал(а):

1)Пусть $f:R\to[0;+\infty)$ и для любых $x,y$ исполняется условие $|f(x)-f(y)|\leq |x-y|$. Доказать, что
а) если для любого $x$ $\lim \limits_{n\to \infty}f(x+n)=\infty$, то $\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=\infty$
б)если для любого $x$ $\lim \limits_{n\to \infty}f(x+n)=a$, то $\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=a$
в) можно ли отбросить условие $|f(x)-f(y)|\leq |x-y|$?

2)Пусть для всех $x\in (\alpha;\beta)$ исполняется условие $\lim\limits_{n\to \infty}(a_ncos nx+b_nsin nx)=0$. Всегда ли $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=0$ и $\lim\limits_{n\to \infty}b_n=0$?
3)Существует ли разрывная в каждой точке функция $f(x)$с областью определения $R$, такая, что для всех $x$ $f(f(f(x)))=x$?

1. a),б) очевидны, в) можно ослабить, например достаточно равномерной непрерывности. Совсем без дополнительного условия а) и б) неверны.
2. Да - очевидное упражнение.
3. Сколько угодно. Например возьмём y(x)=x-3[x/3] и определим f(x)=x+1 если у(х)<2, х рациональное f(x)=x-1, если y(x)<2 х иррациональное и f(x)=x-2, если у(х)>=2 х рациональное и f(x)=x+2, если у(х)>2 х иррациональное.

[Руст]

Интересно, что условие в) в первой задаче нельзя ослабить просто до непрерывности. И для случая а) и для б) существуют непрерывные контрпримеры. Оставлю это в качестве упражнения другим.