2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Функции и пределы
Сообщение07.03.2007, 21:27 


03/02/07
254
Киев
1)Пусть $f:R\to[0;+\infty)$ и для любых $x,y$ исполняется условие $|f(x)-f(y)|\leq |x-y|$. Доказать, что
а) если для любого $x$ $\lim \limits_{n\to \infty}f(x+n)=\infty$, то $\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=\infty$
б)если для любого $x$ $\lim \limits_{n\to \infty}f(x+n)=a$, то $\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=a$
в) можно ли отбросить условие $|f(x)-f(y)|\leq |x-y|$?

2)Пусть для всех $x\in (\alpha;\beta)$ исполняется условие $\lim\limits_{n\to \infty}(a_ncos nx+b_nsin nx)=0$. Всегда ли $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=0$ и $\lim\limits_{n\to \infty}b_n=0$?
3)Существует ли разрывная в каждой точке функция $f(x)$с областью определения $R$, такая, что для всех $x$ $f(f(f(x)))=x$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функции и пределы
Сообщение07.03.2007, 22:00 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Trius писал(а):
1)Пусть $f:R\to[0;+\infty)$ и для любых $x,y$ исполняется условие $|f(x)-f(y)|\leq |x-y|$. Доказать, что
а) если для любого $x$ $\lim \limits_{n\to \infty}f(x+n)=\infty$, то $\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=\infty$
б)если для любого $x$ $\lim \limits_{n\to \infty}f(x+n)=a$, то $\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=a$
в) можно ли отбросить условие $|f(x)-f(y)|\leq |x-y|$?

2)Пусть для всех $x\in (\alpha;\beta)$ исполняется условие $\lim\limits_{n\to \infty}(a_ncos nx+b_nsin nx)=0$. Всегда ли $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=0$ и $\lim\limits_{n\to \infty}b_n=0$?
3)Существует ли разрывная в каждой точке функция $f(x)$с областью определения $R$, такая, что для всех $x$ $f(f(f(x)))=x$?

1. a),б) очевидны, в) можно ослабить, например достаточно равномерной непрерывности. Совсем без дополнительного условия а) и б) неверны.
2. Да - очевидное упражнение.
3. Сколько угодно. Например возьмём y(x)=x-3[x/3] и определим f(x)=x+1 если у(х)<2, х рациональное f(x)=x-1, если y(x)<2 х иррациональное и f(x)=x-2, если у(х)>=2 х рациональное и f(x)=x+2, если у(х)>2 х иррациональное.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.03.2007, 07:54 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Интересно, что условие в) в первой задаче нельзя ослабить просто до непрерывности. И для случая а) и для б) существуют непрерывные контрпримеры. Оставлю это в качестве упражнения другим.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group