Trius писал(а):
1)Пусть

и для любых

исполняется условие

. Доказать, что
а) если для любого

, то

б)если для любого

, то

в) можно ли отбросить условие

?
2)Пусть для всех

исполняется условие

. Всегда ли

и

?
3)Существует ли разрывная в каждой точке функция

с областью определения

, такая, что для всех

?
1. a),б) очевидны, в) можно ослабить, например достаточно равномерной непрерывности. Совсем без дополнительного условия а) и б) неверны.
2. Да - очевидное упражнение.
3. Сколько угодно. Например возьмём y(x)=x-3[x/3] и определим f(x)=x+1 если у(х)<2, х рациональное f(x)=x-1, если y(x)<2 х иррациональное и f(x)=x-2, если у(х)>=2 х рациональное и f(x)=x+2, если у(х)>2 х иррациональное.