2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вычислить сумму
Сообщение16.05.2012, 03:32 
Аватара пользователя


25/02/10
687
Имется ли "замкнутая" формула для вычисления суммы $\displaystyle\sum_i^n i^{i-1}$ или близкой по форме? Очень признателен за любые идеи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить сумму
Сообщение16.05.2012, 09:12 
Заслуженный участник


25/02/11
1797
Вряд ли. Последний член доминирует. Разве что асимптотику м.б. возможно выписать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить сумму
Сообщение16.05.2012, 09:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
JMH в сообщении #571540 писал(а):
Имется ли "замкнутая" формула для вычисления суммы $\displaystyle\sum_i^n i^{i-1}$ или близкой по форме? Очень признателен за любые идеи.
Указать пределы суммирования $\displaystyle\sum_{i=n-1}^n i^{i-1},$ после чего результат записывается легко. Как идея?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить сумму
Сообщение16.05.2012, 21:35 
Аватара пользователя


25/02/10
687
Идея хороша - абсолютно точный и совершенно бесполезный ответ 8-)
А если так: $\displaystyle\sum_{i=1}^n i^\alpha$, где $\alpha$ - произвольная целочисленная константа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить сумму
Сообщение16.05.2012, 22:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9978
Москва
А это в любом курсе конечных разностей...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить сумму
Сообщение16.05.2012, 23:27 
Аватара пользователя


25/02/10
687
Т.е. посчитать можно только приближённо, так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить сумму
Сообщение17.05.2012, 00:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
$1+2\approx 3$, в этом смысле приближенно, да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить сумму
Сообщение17.05.2012, 03:21 
Аватара пользователя


25/02/10
687
Воспользовался "Исчислением конечных разностей" Гельфонда, нашёл следующее: $\displaystyle\sum_{x=0}^{n-1}x^s=\displaystyle\sum_{k=1}^{s+1}\frac{s!B_{s+1-k}}{k!(s+1-k)!}n^k$
При сравнимых $s$ и $n$, а именно это имеет место в моём случае, формула не даёт никакой выгоды. Замечу, что задача не учебная, а сугубо практическая; можно решать её в лоб - вычислить сумму в цикле, но как-то неэлегантно... да и ресурсов жалко - само вычисление производится тоже в цикле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить сумму
Сообщение17.05.2012, 08:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9978
Москва
Нет, конечные разности тут (для второй задачи) дают точный ответ. А для первой...
Если достаточно приближённого решения - приблизить интегралом ("взять в вилку" двумя интегралами, сверху и снизу). Но боюсь, что они неберущиеся, хотя может оказаться, что их будет удобнее численно считать, чем сумму.
И, кстати, каковы порядки n? Если малы - то считайте просто суммируя. Если велики - суммируйте "с конца", несколько самых больших членов, отбрасывая меньшие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычислить сумму
Сообщение17.05.2012, 21:42 
Аватара пользователя


25/02/10
687
$n$ может меняться от 1 до нескольких десятков, но поскольку значение результата в любом случае ограничено $2^{63}$, то Ваша последняя идея - то, что надо.
Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group