Вычислить сумму

[JMH]

Имется ли "замкнутая" формула для вычисления суммы $\displaystyle\sum_i^n i^{i-1}$ или близкой по форме? Очень признателен за любые идеи.

[Vince Diesel]

Вряд ли. Последний член доминирует. Разве что асимптотику м.б. возможно выписать.

[TOTAL]

JMH в сообщении #571540 писал(а):

Имется ли "замкнутая" формула для вычисления суммы $\displaystyle\sum_i^n i^{i-1}$ или близкой по форме? Очень признателен за любые идеи.

Указать пределы суммирования $\displaystyle\sum_{i=n-1}^n i^{i-1},$ после чего результат записывается легко. Как идея?

[JMH]

Идея хороша - абсолютно точный и совершенно бесполезный ответ
А если так: $\displaystyle\sum_{i=1}^n i^\alpha$, где $\alpha$ - произвольная целочисленная константа?

[Евгений Машеров]

А это в любом курсе конечных разностей...

[JMH]

Т.е. посчитать можно только приближённо, так?

[Хорхе]

$1+2\approx 3$, в этом смысле приближенно, да.

[JMH]

Воспользовался "Исчислением конечных разностей" Гельфонда, нашёл следующее: $\displaystyle\sum_{x=0}^{n-1}x^s=\displaystyle\sum_{k=1}^{s+1}\frac{s!B_{s+1-k}}{k!(s+1-k)!}n^k$
При сравнимых $s$ и $n$, а именно это имеет место в моём случае, формула не даёт никакой выгоды. Замечу, что задача не учебная, а сугубо практическая; можно решать её в лоб - вычислить сумму в цикле, но как-то неэлегантно... да и ресурсов жалко - само вычисление производится тоже в цикле.

[Евгений Машеров]

Нет, конечные разности тут (для второй задачи) дают точный ответ. А для первой...
Если достаточно приближённого решения - приблизить интегралом ("взять в вилку" двумя интегралами, сверху и снизу). Но боюсь, что они неберущиеся, хотя может оказаться, что их будет удобнее численно считать, чем сумму.
И, кстати, каковы порядки n? Если малы - то считайте просто суммируя. Если велики - суммируйте "с конца", несколько самых больших членов, отбрасывая меньшие.

[JMH]

$n$ может меняться от 1 до нескольких десятков, но поскольку значение результата в любом случае ограничено $2^{63}$, то Ваша последняя идея - то, что надо.
Спасибо!