И вновь дифференциалочка

[vladlen92]

1)Построить касательную плоскость поверхности $y=x^2+z^2$ перпендикулярно вектору a(2,1,-1)

2)На поверхности $x=u^2+v^2$, $y=u^2-v^2$, $z=uv$ дана точка М($u=1,v=1$). Найти кривизну нормального сечения в точке М, проходящего через касательную к линии $v=u^2$

Ваши идеи?

vladlen92,

немножко подкорректируйте свою стратегию (я имею в виду несколько Ваших недавних тем).

Forum Administration в сообщении #31728 писал(а):

В частности, учтите, что если вы просите помощи в решении учебной задачи, то обязательно должны продемонстрировать свои содержательные попытки решения.

[Dan B-Yallay]

vladlen92 в сообщении #572454 писал(а):

Ваши идеи?

А Ваши где?

[vladlen92]

По 2 идей не родилось)

по 1 пробовал найти уравнение касательной плоскости в точке:
$-2x_0x(x-x_0)+(y-y_0)-2z(z-z_0)=0$

далее, пробовал приравнять коэффициенты перед скобками к координатам вектора, чтобы найти координаты точек, в итоге получилось такое уравнение:
$4x+2y-2z+3=0$ но с ответом оно не сошлось

[svv]

vladlen92 писал(а):

$-2x_0x(x-x_0)+(y-y_0)-2z(z-z_0)=0$

Небольшое сходство с тем, что должно быть, здесь есть.
Значит, где-то в учебнике или конспекте нашли формулу. Давайте уточним, а что там по формуле должно быть?

[vladlen92]

[bot]

Ну и ... каков геометрический смысл коэффициентов в этом уравнении?

[vladlen92]

точки касания, наверно

[svv]

Вы взяли эту формулу из Википедии. Это совсем не плохо.
Посмотрите там внимательно в окрестностях этой формулы: нет ли указаний, в какой точке берутся эти $\frac{\partial F}{\partial x}$, $\frac{\partial F}{\partial y}$, $\frac{\partial F}{\partial z}$ ?

[vladlen92]

Я и хочу ее найти через вектор, перпендикулярный плоскости

[bot]

В уравнении плоскости $ax+by+cz+d=0$ каков геометрический смысл вектора $(a,b,c)$?

[vladlen92]

Это вектор нормали

[svv]

А ведь он задан по условию.

[vladlen92]

я знаю

значит нужно найти D, чтобы его найти я пытаюсь найти точку касания, для это пользуюсь вышеуказанной формулой, нахожу точку, зная координаты вектора нормали, нахожу D, но полученное уравнение не сходится с ответом!

-- 17.05.2012, 18:40 --

вот ответ из учебника:
$8x+4y-4z+5=0$

[svv]

Изойдите (от слова "исходить" ) из уравнения плоскости, проходящей через точку $(x_0, y_0, z_0)$ и имеющей вектор нормали $(a_x, a_y, a_z)$:

$$a_x(x-x_0)+a_y(y-y_0)+a_z(z-z_0)=0$$

Вектор нормали к плоскости дан по условию, а на роль $(x_0, y_0, z_0)$ напрашивается точка касания плоскости и поверхности.

Вы не знаете $(x_0, y_0, z_0)$, но Вы можете по точке поверхности определять вектор нормали к поверхности: он равен

$$\left.\left(\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z}\right)\right|_{(x_0, y_0, z_0)}$$

Только учтите, что нормаль определена с точностью до множителя: умножив нормальный вектор на какое-нибудь число $\lambda$, Вы получите другой вектор, не менее "нормальный". Длина у них разная, но направление одно.

Вот Вам и надо найти такую точку $(x_0, y_0, z_0)$, в которой $\left(\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z}\right)$ совпадёт с данным $(a_x, a_y, a_z)$, умноженным на некоторый множитель $\lambda$. Что означает: нормаль к поверхности в этой точке и нормаль к плоскости -- коллинеарны, что и требуется.

[vladlen92]

Спасибо, разобрался уже