fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Треугольник с рац.длинами сторон, образующих геометр.прогр.
Сообщение15.05.2012, 10:22 
Заслуженный участник


17/09/10
2158
Докажите, что у треугольника с рациональными длинами сторон, образующих геометрическую прогрессию, площадь - иррациональное число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник с рац.длинами сторон, образующих геометр.прогр.
Сообщение15.05.2012, 11:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник с рац.длинами сторон, образующих геометр.прогр.
Сообщение15.05.2012, 11:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5502
Нов-ск
Хорхе в сообщении #571183 писал(а):

(Оффтоп)


(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник с рац.длинами сторон, образующих геометр.прогр.
Сообщение15.05.2012, 12:52 
Заслуженный участник


17/09/10
2158

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник с рац.длинами сторон, образующих геометр.прогр.
Сообщение15.05.2012, 12:54 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник с рац.длинами сторон, образующих геометр.прогр.
Сообщение15.05.2012, 13:08 
Заслуженный участник


17/09/10
2158

(Оффтоп)


Лучше другую задачу предложу.
Дан треугольник с рациональными длинами сторон. Они (длины сторон) образуют геометрическую прогрессию.
Доказать, что площадь треугольника - иррациональное число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник с рац.длинами сторон, образующих геометр.прогр.
Сообщение15.05.2012, 13:57 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ну хорошо, будем считать её другой. Просто по формуле Герона:

$S=\dfrac{p}2\sqrt{(1+q+q^2)(1-q+q^2)(1+q-q^2)(-1+q+q^2)}=$

$=\dfrac{p}{2m}\sqrt{(m^2+mn+n^2)(m^2-mn+n^2)(m^2+mn-n^2)(-m^2+mn+n^2)}$

$=\dfrac{p}{2m}\sqrt{\big((m^2+n^2)^2-m^2n^2\big)\big(m^2n^2-(m^2-n^2)^2\big)}.$

Из чисел $m,n$ одно можно считать чётным, другое нечётным. Тогда у первой из больших скобок под корнем остаток от деления на четыре равен плюс единице, у второй -- минус единице. Итого у подкоренного выражения этот остаток равен минус единице. Ну так не бывает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник с рац.длинами сторон, образующих геометр.прогр.
Сообщение15.05.2012, 14:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5502
Нов-ск
ewert в сообщении #571241 писал(а):
Из чисел $m,n$ одно можно считать чётным, другое нечётным.
Если оба нечетны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник с рац.длинами сторон, образующих геометр.прогр.
Сообщение15.05.2012, 14:06 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
TOTAL в сообщении #571244 писал(а):
Если оба нечетны?

Хм, да, это надо добавить. Но последние-то три фразы от этого практически не меняются (разве что "первую-вторую" надо заменить на "одну-другую").

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник с рац.длинами сторон, образующих геометр.прогр.
Сообщение15.05.2012, 14:20 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
Да уж, такой облом (в смысле, до рациональных точек на эллиптической кривой здесь дело не дошло).

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник с рац.длинами сторон, образующих геометр.прогр.
Сообщение15.05.2012, 14:36 
Заслуженный участник


17/09/10
2158
Как знать. После успешного решения возникает следующий вопрос.
Пусть дан вписанный в окружность черехугольник (не квадрат) с рациональными длинами сторон.
Длины сторон образуют геометрическую прогрессию.
Докажите, что площадь четырехугольника - иррациональное число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник с рац.длинами сторон, образующих геометр.прогр.
Сообщение15.05.2012, 14:56 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
Ну, это гораздо лучше. Такой халявы уж точно нет.

 Профиль  
                  
 
 Я всё помню...
Сообщение15.05.2012, 17:30 


29/09/06
4552

(ewert и Герон)


 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник с рац.длинами сторон, образующих геометр.прогр.
Сообщение15.05.2012, 17:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14496

(ewert и дети)


 Профиль  
                  
 
 Re: Треугольник с рац.длинами сторон, образующих геометр.прогр.
Сообщение15.05.2012, 23:14 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)


 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group