Треугольник с рац.длинами сторон, образующих геометр.прогр.

[scwec]

Докажите, что у треугольника с рациональными длинами сторон, образующих геометрическую прогрессию, площадь - иррациональное число.

[Хорхе]

(Оффтоп)

Так кто образует прогрессию - стороны? Или все-таки длины?

[TOTAL]

Хорхе в сообщении #571183 писал(а):

(Оффтоп)

Так кто образует прогрессию - стороны? Или все-таки длины?

(Оффтоп)

Или величины длин сторон?

[scwec]

(Оффтоп)

Что-то с падежами? Можно длины сторон, можно и величины длин сторон.
Очень рад Вашему вниманию.

[ewert]

(Оффтоп)

scwec в сообщении #571205 писал(а):

Что-то с падежами?

scwec в сообщении #571170 писал(а):

с рациональными длинами сторон, образующих геометрическую прогрессию,

[scwec]

(Оффтоп)

Н-да, корявенько, конечно. Однако смысл вполне приличный.
Извините, люди добрые. Недоучел, не обратил внимание. Теперь буду учитывать и обращать.

Лучше другую задачу предложу.
Дан треугольник с рациональными длинами сторон. Они (длины сторон) образуют геометрическую прогрессию.
Доказать, что площадь треугольника - иррациональное число.

[ewert]

Ну хорошо, будем считать её другой. Просто по формуле Герона:

$S=\dfrac{p}2\sqrt{(1+q+q^2)(1-q+q^2)(1+q-q^2)(-1+q+q^2)}=$

$=\dfrac{p}{2m}\sqrt{(m^2+mn+n^2)(m^2-mn+n^2)(m^2+mn-n^2)(-m^2+mn+n^2)}$

$=\dfrac{p}{2m}\sqrt{\big((m^2+n^2)^2-m^2n^2\big)\big(m^2n^2-(m^2-n^2)^2\big)}.$

Из чисел $m,n$ одно можно считать чётным, другое нечётным. Тогда у первой из больших скобок под корнем остаток от деления на четыре равен плюс единице, у второй -- минус единице. Итого у подкоренного выражения этот остаток равен минус единице. Ну так не бывает.

[TOTAL]

ewert в сообщении #571241 писал(а):

Из чисел $m,n$ одно можно считать чётным, другое нечётным.

Если оба нечетны?

[ewert]

TOTAL в сообщении #571244 писал(а):

Если оба нечетны?

Хм, да, это надо добавить. Но последние-то три фразы от этого практически не меняются (разве что "первую-вторую" надо заменить на "одну-другую").

[nnosipov]

Да уж, такой облом (в смысле, до рациональных точек на эллиптической кривой здесь дело не дошло).

[scwec]

Как знать. После успешного решения возникает следующий вопрос.
Пусть дан вписанный в окружность черехугольник (не квадрат) с рациональными длинами сторон.
Длины сторон образуют геометрическую прогрессию.
Докажите, что площадь четырехугольника - иррациональное число.

[nnosipov]

Ну, это гораздо лучше. Такой халявы уж точно нет.

[Алексей К.]

(ewert и Герон)

ewert в сообщении #571241 писал(а):

Просто по формуле Герона:

ewert в сообщении #391940 писал(а):

формулы Герона не бывает

[gris]

(ewert и дети)

Она как бы и существует, но только для совсем маленьких детей. А класса этак с девятого предписано её забывать. А то там корень!

ewert в сообщении #184435 писал(а):

И когда я (иногда) общаюсь с детьми, обязательно их предупреждаю: "кто из вас нечаянно помнит формулу Герона -- немедленно забудьте!"

[ewert]

(Оффтоп)

gris, а Вы ведь как минимум истчо один мой ляп прозевали, пусть и ненужный