Изоморфизм групп

[Sonic86]

farewe11 в сообщении #570533 писал(а):

Я не могу понять, почему этого достаточно. Хотя я могу это представить, но почему этих условий достаточно для того, чтобы сказать, что группы изоморфны - неясно совсем.

Потому что групп порядка 6 всего 2 (догадайтесь, какие) - одна абелева, а вторая - неабелева.

[farewe11]

Sonic86 в сообщении #570709 писал(а):

Потому что групп порядка 6 всего 2 (догадайтесь, какие)

Я знаю 2 группы порядка 6: $S_3$ и, очевидно, $Z_6$. Последняя - абелева. Да, если принять утверждение "Групп порядка 6 всего 2, с точностью до изоморфизма" за истину, то тогда и доказывать-то, по сути, ничего не надо.. Но боюсь, что это утверждение надо мне будет доказать. Чтобы доказать это, похоже, придется перебирать все возможные бинарные операции для 6-ти элементов (с единицей), и проверять, какие из этих операций будут являться групповыми.. Так нужно делать? Или есть попроще вариант?

[ИСН]

Это зависит от того, на плечах у каких гигантов разрешено стоять. Если только определение группы и больше ничего, то надо описывать изоморфизм явно (что, как я понял, Вы тоже сделали). Если можно заглянуть в списки, то открываются видите какие возможности...

[Kallikanzarid]

farewe11
Хинт: найдите подгруппу индекса 2, покажите, что соответствующая проекция имеет сечение.

[farewe11]

Kallikanzarid в сообщении #570779 писал(а):

Хинт: найдите подгруппу индекса 2, покажите, что соответствующая проекция имеет сечение.

К сожалению, о таком мне ещё рано знать..

ИСН в сообщении #570773 писал(а):

Если только определение группы и больше ничего, то надо описывать изоморфизм явно (что, как я понял, Вы тоже сделали). Если можно заглянуть в списки, то открываются видите какие возможности...

Ну, в принципе-то да, пока у меня в арсенале есть только определения групп, изоморфизмов, ну и некоторые понятия вроде "порядок", "цикличность", "центр группы" и проч., то есть самое начало, грубо говоря. Изоморфизм я описал, да, но всё ж это далеко не лучший путь..
Нашел где-то последовательность: кол-во групп порядка $n$. Без каких-либо доказательств. Откуда только берётся это... http://oeis.org/A000001

[ИСН]

Доказательный вывод всех циферок, приведённых в этой последовательности, потянет на небольшую библиотеку.

[Kallikanzarid]

farewe11
Ну давайте по порядку :)

$G := \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}/2)$

Матрица $x = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ имеет период 3. Соответственно группа $H = \langle a \rangle$ имеет индекс 2. По известной теореме любая подгруппа индекса 2 нормальна, следовательно имеем гомоморфизм-проекцию $\pi: G \to G/H$. Если мы теперь найдем гомоморфизм $\alpha: G/H \to G$ такой, что $\pi \circ \alpha = \mathrm{id}_{G/H}$ (т.е. $\alpha$ - сечение $\pi$), то опять же по известной теореме получим, что $G = H \rtimes \alpha(G/H) \cong \mathbb{Z}/3 \rtimes \mathbb{Z}/2 = S_3$, причем произведение не прямое в силу неабелевости.

Постройте $\alpha$ для завершения доказательства :) Далее, проверьте, что $\mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/3 \cong \mathbb{Z}/6$.

[Sonic86]

Kallikanzarid, а $\rtimes$ - это полупрямое произведение?

[Kallikanzarid]

Sonic86
Да, я ошибся?

[Sonic86]

Kallikanzarid в сообщении #570826 писал(а):

Sonic86
Да, я ошибся?

Нет, я просто такой значок 2-й раз вижу....

[Kallikanzarid]

Sonic86
Вы же четыре года на форуме :) Возьмите в библиотеке "Алгебру" Ленга, это трансформирующая книга Если покажется слишком сложной, возьмите сначала его книгу "Undergraduate Algebra" (не знаю, как называется ее русское издание).

[Sonic86]

(Оффтоп)

Kallikanzarid в сообщении #570830 писал(а):

Sonic86
Вы же четыре года на форуме :) Возьмите в библиотеке "Алгебру" Ленга, это трансформирующая книга Если покажется слишком сложной, возьмите сначала его книгу "Undergraduate Algebra" (не знаю, как называется ее русское издание).

Спасибо за совет, конечно

[farewe11]

Kallikanzarid в сообщении #570821 писал(а):

farewe11
$G := \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}/2)$
Матрица $x = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ имеет период 3. Соответственно группа $H = \langle a \rangle$ имеет индекс 2. По известной теореме любая подгруппа индекса 2 нормальна, следовательно имеем гомоморфизм-проекцию $\pi: G \to G/H$. Если мы теперь найдем гомоморфизм $\alpha: G/H \to G$ такой, что $\pi \circ \alpha = \mathrm{id}_{G/H}$ (т.е. $\alpha$ - сечение $\pi$), то опять же по известной теореме получим, что $G = H \rtimes \alpha(G/H) \cong \mathbb{Z}/3 \rtimes \mathbb{Z}/2 = S_3$, причем произведение не прямое в силу неабелевости.

Стыдно признаться, но большая часть понятий из сего объяснения мне незнакома (индекс подгруппы, известная теорема про индекс подгруппы, полупрямое произведение, непрямое произведение, etc), ибо с группами знакомство только-только началось. Так что на сегодняшний день мне уж будет проще найти изоморфизм в явном виде, и таким топорным способом решить задачу.. В любом случае, спасибо, и книгу ту мне тоже будет полезно прочитать, вероятнее всего! )

[Sonic86]

farewe11 в сообщении #570898 писал(а):

Стыдно признаться, но большая часть понятий из сего объяснения мне незнакома (индекс подгруппы, известная теорема про индекс подгруппы, полупрямое произведение, непрямое произведение, etc), ибо с группами знакомство только-только началось. Так что на сегодняшний день мне уж будет проще найти изоморфизм в явном виде, и таким топорным способом решить задачу.. В любом случае, спасибо, и книгу ту мне тоже будет полезно прочитать, вероятнее всего! )

Сделайте тогда так: рассмотрите группу $S_3$, найдите ее порождающие, полезно найти ее подгруппы. Рассмотрите отдельно $SL_2(\mathbb{Z}_2)$, тоже найдите подгруппы, образующие. А потом установите явный изоморфизм. Так будет, наверное, проще всего. Может по дороге как-то упростите этот метод в данном случае.
Можете разложить обе группы в полупрямое произведение, если такое было, и тоже тогда можно изоморфизм установить

[RIP]

Так явный изоморфизм уже давно указан:

apriv в сообщении #570528 писал(а):

А вообще несложно понять, что $SL(2,\mathbb Z/2\mathbb Z)$ действует на ненулевых векторах двумерного пространства над $\mathbb Z/2\mathbb Z$, которых три штуки.

И считать ничего не надо.