2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение14.05.2012, 13:34 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
farewe11 в сообщении #570533 писал(а):
Я не могу понять, почему этого достаточно. Хотя я могу это представить, но почему этих условий достаточно для того, чтобы сказать, что группы изоморфны - неясно совсем.
Потому что групп порядка 6 всего 2 (догадайтесь, какие) - одна абелева, а вторая - неабелева.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение14.05.2012, 15:22 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Sonic86 в сообщении #570709 писал(а):
Потому что групп порядка 6 всего 2 (догадайтесь, какие)

Я знаю 2 группы порядка 6: $S_3$ и, очевидно, $Z_6$. Последняя - абелева. Да, если принять утверждение "Групп порядка 6 всего 2, с точностью до изоморфизма" за истину, то тогда и доказывать-то, по сути, ничего не надо.. Но боюсь, что это утверждение надо мне будет доказать. Чтобы доказать это, похоже, придется перебирать все возможные бинарные операции для 6-ти элементов (с единицей), и проверять, какие из этих операций будут являться групповыми.. Так нужно делать? Или есть попроще вариант?

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение14.05.2012, 16:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Это зависит от того, на плечах у каких гигантов разрешено стоять. Если только определение группы и больше ничего, то надо описывать изоморфизм явно (что, как я понял, Вы тоже сделали). Если можно заглянуть в списки, то открываются видите какие возможности...

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение14.05.2012, 16:33 


02/04/11
956
farewe11
Хинт: найдите подгруппу индекса 2, покажите, что соответствующая проекция имеет сечение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение14.05.2012, 17:02 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Kallikanzarid в сообщении #570779 писал(а):
Хинт: найдите подгруппу индекса 2, покажите, что соответствующая проекция имеет сечение.

:shock:
К сожалению, о таком мне ещё рано знать..
ИСН в сообщении #570773 писал(а):
Если только определение группы и больше ничего, то надо описывать изоморфизм явно (что, как я понял, Вы тоже сделали). Если можно заглянуть в списки, то открываются видите какие возможности...

Ну, в принципе-то да, пока у меня в арсенале есть только определения групп, изоморфизмов, ну и некоторые понятия вроде "порядок", "цикличность", "центр группы" и проч., то есть самое начало, грубо говоря. Изоморфизм я описал, да, но всё ж это далеко не лучший путь..
Нашел где-то последовательность: кол-во групп порядка $n$. Без каких-либо доказательств. Откуда только берётся это... :-) http://oeis.org/A000001

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение14.05.2012, 17:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Доказательный вывод всех циферок, приведённых в этой последовательности, потянет на небольшую библиотеку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение14.05.2012, 18:09 


02/04/11
956
farewe11
Ну давайте по порядку :)

$G := \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}/2)$

Матрица $x = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ имеет период 3. Соответственно группа $H = \langle a \rangle$ имеет индекс 2. По известной теореме любая подгруппа индекса 2 нормальна, следовательно имеем гомоморфизм-проекцию $\pi: G \to G/H$. Если мы теперь найдем гомоморфизм $\alpha: G/H \to G$ такой, что $\pi \circ \alpha = \mathrm{id}_{G/H}$ (т.е. $\alpha$ - сечение $\pi$), то опять же по известной теореме получим, что $G = H \rtimes \alpha(G/H) \cong \mathbb{Z}/3 \rtimes \mathbb{Z}/2 = S_3$, причем произведение не прямое в силу неабелевости.

Постройте $\alpha$ для завершения доказательства :) Далее, проверьте, что $\mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/3 \cong \mathbb{Z}/6$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение14.05.2012, 18:15 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Kallikanzarid, а $\rtimes$ - это полупрямое произведение? :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение14.05.2012, 18:16 


02/04/11
956
Sonic86
Да, я ошибся? :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение14.05.2012, 18:18 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
Kallikanzarid в сообщении #570826 писал(а):
Sonic86
Да, я ошибся? :oops:
Нет, я просто такой значок 2-й раз вижу....

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение14.05.2012, 18:22 


02/04/11
956
Sonic86
Вы же четыре года на форуме :) Возьмите в библиотеке "Алгебру" Ленга, это трансформирующая книга 8-) Если покажется слишком сложной, возьмите сначала его книгу "Undergraduate Algebra" (не знаю, как называется ее русское издание).

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение14.05.2012, 18:27 
Заслуженный участник


08/04/08
8556

(Оффтоп)

Kallikanzarid в сообщении #570830 писал(а):
Sonic86
Вы же четыре года на форуме :) Возьмите в библиотеке "Алгебру" Ленга, это трансформирующая книга 8-) Если покажется слишком сложной, возьмите сначала его книгу "Undergraduate Algebra" (не знаю, как называется ее русское издание).
Спасибо за совет, конечно :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение14.05.2012, 19:53 


19/04/11
170
Санкт-Петербург
Kallikanzarid в сообщении #570821 писал(а):
farewe11
$G := \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}/2)$
Матрица $x = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ имеет период 3. Соответственно группа $H = \langle a \rangle$ имеет индекс 2. По известной теореме любая подгруппа индекса 2 нормальна, следовательно имеем гомоморфизм-проекцию $\pi: G \to G/H$. Если мы теперь найдем гомоморфизм $\alpha: G/H \to G$ такой, что $\pi \circ \alpha = \mathrm{id}_{G/H}$ (т.е. $\alpha$ - сечение $\pi$), то опять же по известной теореме получим, что $G = H \rtimes \alpha(G/H) \cong \mathbb{Z}/3 \rtimes \mathbb{Z}/2 = S_3$, причем произведение не прямое в силу неабелевости.


Стыдно признаться, но большая часть понятий из сего объяснения мне незнакома (индекс подгруппы, известная теорема про индекс подгруппы, полупрямое произведение, непрямое произведение, etc), ибо с группами знакомство только-только началось. :twisted: Так что на сегодняшний день мне уж будет проще найти изоморфизм в явном виде, и таким топорным способом решить задачу.. В любом случае, спасибо, и книгу ту мне тоже будет полезно прочитать, вероятнее всего! )

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение15.05.2012, 07:02 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
farewe11 в сообщении #570898 писал(а):
Стыдно признаться, но большая часть понятий из сего объяснения мне незнакома (индекс подгруппы, известная теорема про индекс подгруппы, полупрямое произведение, непрямое произведение, etc), ибо с группами знакомство только-только началось. Так что на сегодняшний день мне уж будет проще найти изоморфизм в явном виде, и таким топорным способом решить задачу.. В любом случае, спасибо, и книгу ту мне тоже будет полезно прочитать, вероятнее всего! )
Сделайте тогда так: рассмотрите группу $S_3$, найдите ее порождающие, полезно найти ее подгруппы. Рассмотрите отдельно $SL_2(\mathbb{Z}_2)$, тоже найдите подгруппы, образующие. А потом установите явный изоморфизм. Так будет, наверное, проще всего. Может по дороге как-то упростите этот метод в данном случае.
Можете разложить обе группы в полупрямое произведение, если такое было, и тоже тогда можно изоморфизм установить

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм групп
Сообщение15.05.2012, 08:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Так явный изоморфизм уже давно указан:
apriv в сообщении #570528 писал(а):
А вообще несложно понять, что $SL(2,\mathbb Z/2\mathbb Z)$ действует на ненулевых векторах двумерного пространства над $\mathbb Z/2\mathbb Z$, которых три штуки.
И считать ничего не надо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group