Изоморфизм групп

[Kallikanzarid]

Доказательство того, что любая группа порядка 6 изоморфна $\mathbb{Z}/6$ или $\mathbb{Z}/3 \rtimes \mathbb{Z}/2$ (и, следовательно, все неабелевые группы порядка 6 изоморфны).

Рассмотрим комплексные представления группы $G$ порядка 6. Имеем известную формулу

$$|G| = \sum_{T \in \hat G} (\dim T)^2.$$

Есть два разложения 6 на сумму квадратов: $6 = 2^2 + 1^2 + 1^2$ и $6 = 6 \cdot 1^2$. Во втором случае по известной теореме группа абелева, и из изоморфизма $\mathbb{Z}/3 \times \mathbb{Z}/2 \cong \mathbb{Z}/6$ немедленно получаем, что она единственна.

В первом случае же имеем два неприводимых одномерных представления. Одно из них тривиально, другое имеет ядро порядка 3 (если бы оно имело ядро порядка 1 или 2, то имелся бы нетривиальный автоморфизм образа, что дало бы еще как минимум одно неприводимое одномерное представление). Но группа простого порядка циклическая, значит имеем нормальную подгруппу $\mathbb{Z}/3 \cong H \triangleleft G$. Теперь можно непосредственно проверить, что группа $G$ имеет вид $G = \lbrace 1, x, x^2, y, xy, yx \rbrace$, где $xy \neq yx$, в противном случае группа была бы абелевой. Но тогда имеем $y^2 = 1$, и $G = \langle x \rangle \langle y \rangle$, причем группа $H = \langle x \rangle$ нормальна, и $\langle x \rangle \cap \langle y \rangle = 1$, откуда $G = \langle x \rangle \rtimes \langle y \rangle \cong \mathbb{Z}/3 \rtimes \mathbb{Z}/2$.

[Kallikanzarid]

А, ну и конечно изоморфизм любых неабелевых групп порядка 6 задается отображением описанной выше пары порождающих в пару порождающих другой группы :) Т.е. изоморфизм $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}/2) \to S_3$ полностью задается, например, так:

$$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix} \mapsto (123), \quad \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \mapsto (12).$$