Задачка по теории групп

[bot]

correy в сообщении #570371 писал(а):

Оно биективно?

А зачем ему быть биективным - он же статуя гомоморфизм.

[Joker_vD]

Если у вас есть гомоморфизм $f$ из $G$ на $G'$, то у вас тут же есть изоморфизм $G'$ и факторгруппы $G/\ker f$. Первая теорема о гомоморфизме!

[correy]

Цитата:

Если у вас есть гомоморфизм $f$ из $G$ на $G'$, то у вас тут же есть изоморфизм $G'$ и факторгруппы $G/\ker f$.

Не очень понял эту фразу(
Я как-то уже и понимаю структуру факторгруппы, по-моему, ее элементы имеют следующий вид:

$(1,x_{1},x_{2})$
$(2,x_{1},x_{2})$
$(3,x_{1},x_{2})$
.....
и т.д., где $x_{1},x_{2}$ - всевозможные комбинации пар целых чисел.
И видно, что каждому такому элементу можно сопоставить гауссово число, однако я как-то не могу это формально записать, кто-нибудь подскажет?)

[Joker_vD]

correy в сообщении #571198 писал(а):

Не очень понял эту фразу(

Пусть даны группы $G,G'$ и гомоморфизм $f\colon G\to G'$. Тогда существует индуцированный им изоморфизм $\overline f\colon G/\ker f\to \operatorname{Im}f$. Это знаменитая "первая теорема о гомоморфизме": "гомоморфный образ группы, будь во имя коммунизма изоморфен факторгруппе по ядру гомоморфизма".

И это стандартный способ построения изоморфизма между факторгруппой $G/H$ и "чистой" группой $G'$: строим гомоморфизм из $G$ в $G'$ так, чтобы его образ совпал со всей $G'$, а ядро — с $H$.

correy в сообщении #571198 писал(а):

однако я как-то не могу это формально записать, кто-нибудь подскажет?)

Пишите гомоморфизм из $G$ в $\mathbb Z[i]$. Давайте, вот у вас есть $(a_1,a_2,a_3)$, вы его переводите в $?+?i$. Что стоит на месте вопросов?

[correy]

Цитата:

вы его переводите в $?+?i$. Что стоит на месте вопросов?

Ну, на месте вопросов стоят два целых числа :)

Цитата:

И это стандартный способ построения изоморфизма между факторгруппой $G/H$ и "чистой" группой $G'$: строим гомоморфизм из $G$ в $G'$ так, чтобы его образ совпал со всей $G'$, а ядро — с $H$.

Не могу как-то гомоморфизм подобрать такой, чтобы H было ядром(

[Joker_vD]

correy в сообщении #571370 писал(а):

Ну, на месте вопросов стоят два целых числа :)

Ну и сделайте из $a_1,a_2,a_3$ нужны вам два числа. Подсказка: "закройте первую компоненту ладошкой".

correy в сообщении #571370 писал(а):

Не могу как-то гомоморфизм подобрать такой, чтобы H было ядром(

Вы сначала сам гомоморфизм подберите, ядро у него потом будете проверять.

[Kallikanzarid]

Постройте гомоморфизм $\pi: G \to \mathbb{Z}^2$, $\pi(x, y, z) = (y, z)$, и убедитесь, что его ядро будет в точности заданной подгруппой.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Kallikanzarid

ИСН в сообщении #492254 писал(а):

...Вас когда-нибудь били вёслами от байдарки "Таймень"?

correy
В общем, гомоморфизм вам подарили, можно и рассказать о том, как до него можно догадаться. $H=\langle(1,0,0)\rangle$ означает, что первая компонента выбрасывается, вторая и третья — не трогаются.

[Kallikanzarid]

Joker_vD

(Оффтоп)

Это угроза?