Задачка по теории групп

[correy]

Задача:
Пусть $G$ - мультипликативная группа всевозможных троек целых чисел с бинарной операцией $(k_{1},k_{2},k_{3})\cdot (l_{1}l_{2},l_{3})=(k_{1}+(-1)^{k_{3}}l_{1},k_{2}+l_{2},k_{3}+l_{3})$, $H=\langle(1,0,0)\rangle - $ её подгруппа. Доказать, что фактор группа $G/H$ изоморфна аддитивной группе целых гауссовых чисел.

У меня есть два пути решения этой задачи:
1) Попытаться доказать, что H - ядро, а затем через теорему о ядре гомоморфизма.
2) Я попытался представить все образующие подгрупп, составляющих факторгруппу и у меня получилось следующее:
$\langle(1,0,0)\rangle $ $\langle(1,1,0)\rangle $ $\langle(1,0,1)\rangle $ $\langle(0,1,1)\rangle $ $\langle(0,0,1)\rangle $ $\langle(0,1,0)\rangle $ $\langle(1,1,1)\rangle $

А потом из этого пытаться уже как-то доказать изоморфность, но как-то к прогрессу не пришел. Какие идеи есть у форумчан?)

[Joker_vD]

Так, а постройте-ка вы гомоморфизм из $G$ на $\langle\mathbb Z[i],+\rangle$ для начала.

[correy]

Цитата:

Так, а постройте-ка вы гомоморфизм из $G$ на $\langle\mathbb Z[i],+\rangle$ для начала.

Например, такой:
$a = x_{1}+x_{2}, b = x_{3}$, где $(x_{1},x_{2},x_{3})$ - принадлежит $G$, а $a+ib$ принадлежит $\langle\mathbb Z[i],+\rangle$

[AV_77]

correy в сообщении #570125 писал(а):

Например, такой:
$a = x_{1}+x_{2}, b = x_{3}$, где $(x_{1},x_{2},x_{3})$ - принадлежит $G$, а $a+ib$ принадлежит $\langle\mathbb Z[i],+\rangle$

Это не гомоморфизм.

[correy]

Цитата:

Это не гомоморфизм.

Я как-то не соображу тогда, как его построить

[AV_77]

Я бы сначала вспомнил, что $(\mathbb{Z}[i]; +)$ изоморфна прямой сумме $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$. Потом вспомнил бы что такое прямая сумма групп, как на ней определяется операции. И, наконец, сравнил бы операцию на этой прямой сумме с заданной операцией на тройках - вдруг что-то похожее увижу.

[Joker_vD]

Вас, я вижу, первая компонента суммы поразила прямо в сердце... а вы ее ладошкой закройте.

[correy]

Цитата:

Вас, я вижу, первая компонента суммы поразила прямо в сердце... а вы ее ладошкой закройте.

Закрыл, только как-то не очень помогает

[correy]

Цитата:

Я бы сначала вспомнил, что $(\mathbb{Z}[i]; +)$ изоморфна прямой сумме $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$. Потом вспомнил бы что такое прямая сумма групп, как на ней определяется операции. И, наконец, сравнил бы операцию на этой прямой сумме с заданной операцией на тройках - вдруг что-то похожее увижу.

Что такая прямая сумма групп - я посмотрел, а вот на счет того, как на ней определяется операция, как-то затрудняюсь ответить(

[Joker_vD]

$\mathbb Z\oplus\mathbb Z=\{(a_1,a_2)\mid a_1,a_2\in\mathbb Z\}$ с операцией $+\colon(a_1,a_2)+(b_1,b_2)=(a_1+b_1,a_2+b_2)$. Ну же, предпоследний рывок!

[correy]

Цитата:

$\mathbb Z\oplus\mathbb Z=\{(a_1,a_2)\mid a_1,a_2\in\mathbb Z\}$ с операцией $+\colon(a_1,a_2)+(b_1,b_2)=(a_1+b_1,a_2+b_2)$. Ну же, предпоследний рывок!

Ну, отсюда видно, что операция на этой сумме похожа на операцию для двух последних компонент для тройки целых чисел. Судя по вашим подсказкам, я уже понимаю, что нужно сказать что-то очевидное, но мне оно как-то не особо очевидно:(

[Joker_vD]

correy в сообщении #570335 писал(а):

Ну, отсюда видно, что операция на этой сумме похожа на операцию для двух последних компонент для тройки целых чисел.

Да! Именно! Причем не то что похожа, это, в сущности она и есть — пишите гомоморфизм, который выразит эту похожесть.

[correy]

Цитата:

пишите гомоморфизм, который выразит эту похожесть.

С этим имеются сложности :/

[Joker_vD]

Какие сложности? Ох ты господи... ладно, либо вас самого озарит, либо открывайте спойлер.

(Спойлер)

Постройте отображение, которое выкидвает первую компоненту, а с двумя остальными ничего не делает. Подумайте над тем, куда вы построили это отображение, и какие у него есть свойства.

[correy]

Цитата:

Постройте отображение, которое выкидвает первую компоненту, а с двумя остальными ничего не делает. Подумайте над тем, куда вы построили это отображение, и какие у него есть свойства.

Ну, отображение на $(\mathbb{Z}[i]; +)$. Оно биективно? :) Все равно я не понимаю, как связать с этим факторгруппу :(