Перенос методов ТКП на двумерное пространство-время.

[hamilton]

bayak в сообщении #568926 писал(а):

А Вы помогите понять.

В журнале Time опубликован перевод замечательной статьи Э.Садбери, Кватернионный Анализ
http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... /02-09.pdf
на странице 137 там приведены простые формулы (3.1), из которых вытекает естественное следствие
"Поэтому теория кватернионных степенных рядов будет тождественна теории действительных аналитических функций на R^4".

Как известно еще со времен Лагранжа (конец 18-го века), определение аналитической функции дается как аналитическая зависимость независимой переменной x и зависимой переменной y : = f(x).
Ж. Лагранж "Теория аналитических функций, содержащая принципы дифференциального исчисления..."(1797)

На фундаменте Лагранжа строил свою теорию Коши
http://alexandr4784.narod.ru/B21/b21_13.pdf

Таким образом, множество аналитических функций кватернионной переменной равносильно множеству вещественных аналитических отображений из R^4 в R^4.

Теория аналитических функций комплексной переменной очень сильно сужена
в силу известного свойства, что любые функции, удовлетворяющие условиям Коши-Римана
(исторически правильно называть условиями Даламбера-Эйлера, смотрите Маркушевич А.И. Очерки по истории теории аналитических функций),
описываются конформными отображениями на плоскости.

Исходя из этого, очевидно, что узкие рамки конформных отображений непригодны для характеризации реальных функций кватернионной переменной,
которые построил сам Гамильтон в своей книге Lectures on quaternions, Dublin, 1853.

Интересны ли комплексные числа сами по себе в алгебраическом и геометрическом смысле?
Да, они были интересны еще в начале 19-го века, когда только была несколько раз переоткрыта разными людьми диаграмма Весселя-Аргана-Гаусса,
Гаусс и Гамильтон впервые построили теорию комплексных чисел как пар вещественных чисел.
Тогда все это было очень ново и актуально.

Гамильтон после своих работ по комплексным числам в 30-е годы 19-го века вначале пытался строить алгебру триплетов, то есть алгебру чисел с двумя независимыми мнимыми единицами.
Замкнутости по умножению не получалось. Есть исторические статьи ирландцев на английском, там можно об этом прочитать.
Дальше стало ясно, что алгебраический выход лежит в четырехмерном евклидовом пространстве.

Что может представлять собой в физическом или механическом смысле многомерное евклидово пространство, понимал еще Лагранж, и именно этот подход развил Гамильтон в прекрасной системе уравнений, которая позже была названа его именем, и сейчас применяется даже в квантовой механике...
Ясно, что главными в уравнениях являются функции, причем желательно аналитические...

Но фундаментальная проблема аналитических функций кватернионной переменной заключалась в том, что там не существует общей системы первого порядка, как в случае аналитических функций комплексной переменной. Вообще говоря, в R^4 их должно существовать бесконечное множество...
Одно можно утверждать с уверенностью - что множество конформных отображений там вырождено и поэтому неинтересно для практических задач физики и механики.
Кто возьмется всерьез утверждать, что тень на стене имеет свойства трехмерного тела?
Любому здравомыслящему человеку в обычной жизни ясно, что на плоскости много хорошего не построить, если речь идет о существенно пространственных телах.

Но оказывается, что современным специалистам по теории функций здравый смысл может легко отказать.
Подавляющее большинство, получившее образование по Бурбаки, будет цепляться за устаревшие догмы и просто не увидит принципиальной новизны...

[bayak]

hamilton в сообщении #568932 писал(а):

Гамильтон после своих работ по комплексным числам в 30-е годы 19-го века вначале пытался строить алгебру триплетов, то есть алгебру чисел с двумя независимыми мнимыми единицами. Замкнутости по умножению не получалось. Есть исторические статьи ирландцев на английском, там можно об этом прочитать.Дальше стало ясно, что алгебраический выход лежит в четырехмерном евклидовом пространстве.

В этом ничего удивительного нет, поскольку алгебра альтернионов (так алгебры Клиффорда называл Розенфельд) связана с топологией. Всякая такая алгебра имеет представление в виде алгебры линейных векторных полей, генератоы которой касательны к концентрическим сферам чётномерных евклидовых пространств, в частности алгебра кватернионов порождается линейными векторными полями, касательными к $S^{3}$ (кстати, в этой алгебре есть и радиальные к сферам векторные поля, которые соответствуют действительным кватернионам). А поскольку касательных векторных полей чётномерных сфер не существует, то в $\mathbb{R}^{3}$ ничего такого и не нашлось.

hamilton в сообщении #568932 писал(а):

Что может представлять собой в физическом или механическом смысле многомерное евклидово пространство, понимал еще Лагранж, и именно этот подход развил Гамильтон в прекрасной системе уравнений, которая позже была названа его именем, и сейчас применяется даже в квантовой механике...Ясно, что главными в уравнениях являются функции, причем желательно аналитические...

Но там не многомерное евклидово пространство, а чётномерное симплектическое многообразие. Там правит балл скобка Пуассона. Впрочем, скобка Пуассона родственница скобки Ли, а алгебра касательных к сферам линейных векторных полей как раз и образует алгебру Ли.

[hamilton]

Если удобнее мыслить в терминах сфер - пожалуйста. Объяснить то, что уже получено, можно разными способами.
Вопрос, возможно на этом пути продвинуться дальше того, что уже хорошо известно?
Одно из открытий Лойтвилера 1992 года состояло в том, что существуют аналитические функции редуцированной кватернионной переменной, обобщающие некоторый класс аналитических функций комплексной переменной.
Так вот, редуцированные кватернионные переменные и представляют собой триплеты, которые несколько лет исследовал Гамильтон в процессе открытия кватернионов. Замкнутой по умножению алгебры в R^3 нет, а вот аналитические функции существуют. Гамильтон сразу не смог учесть такую тонкость... И до Лойтвилера более 100 лет никто этого не видел.
Сможете объяснить этот удивительный факт с позиций Клиффорда, Розенфельда или в терминах сфер ?

-- Ср май 09, 2012 20:36:07 --

hamilton в сообщении #569133 писал(а):

Но там не многомерное евклидово пространство, а чётномерное симплектическое многообразие

Там - это где? Гамильтон следовал идеям Лагранжа и процедуре удвоения переменных. Он добавил к обычным независимым переменным такое же количество их производных по времени, имеющих смысл импульсов. Получилось четномерное евклидово пространство. От известного пространства R^3 он перешел в R^6.
По удивительно похожей процедуре удвоения из комплексных чисел были построены кватернионы, а затем и октонионы.
Случайно ли такое совпадение?
Комплексные числа также получаются процедурой удвоения из вещественных...
Во времена Лагранжа и Гамильтона уже прекрасно работали обобщенные координаты. Они и сейчас совсем не устарели.

[bayak]

hamilton в сообщении #569133 писал(а):

Сможете объяснить этот удивительный факт с позиций Клиффорда, Розенфельда или в терминах сфер ?

Про существование аналитических функций редуцированной кватернионной переменной ничего не скажу, но кватернионные триплеты образуют алгебру Ли su(2), которая имеет реализацию в виде вращений в R^3. В этой связи интересно заметить, что su(3) имеет реализацию в виде кватернионных вращений в R^6.

-- Ср май 09, 2012 20:46:11 --

hamilton в сообщении #569133 писал(а):

Получилось четномерное евклидово пространство. От известного пространства R^3 он перешел в R^6.

Не знал, что там имеется евклидова структура.

[hamilton]

Гораздо интереснее, почему нельзя следовать процедуре удвоения дальше после октонионов?
Ясно, что в октонионах таится какой-то фундаментальный физический принцип, но какой - это предстоит выяснить следующим поколениям.
Ведь октонионы единственны в классическом смысле, а такие факты случайными не бывают...

[bayak]

С точки зрения топологии, алгебра октонионов последняя, поскольку семимерная сфера это последняя сфера, на которой число линейно-независимых векторных полей совпадает с размерностью сферы, у остальных - будет меньше. А фундаментальный физический (скорее философский) принцип там действительно имеется - материя движется по поверхности семимерной сферы.

[hamilton]

bayak в сообщении #569149 писал(а):

С точки зрения топологии, алгебра октонионов последняя, поскольку семимерная сфера это последняя сфера, на которой число линейно-независимых векторных полей совпадает с размерностью сферы, у остальных - будет меньше.

Топологическая сторона октонионов очень интересна. Это где-то опубликовано?
А как может выглядеть альтернативность умножения в такой интерпретации ?
Можно ли пощупать, где там в результате окажется хотя бы x^2 ?

bayak в сообщении #569106 писал(а):

алгебра альтернионов (так алгебры Клиффорда называл Розенфельд)

Термин довольно сомнительный, так как алгебры Клиффорда по определению ассоциативны.
Альтернативна именно алгебра октонинонов, но она не относится к Клиффордовым...
Это следующая ступень развития. Хорошие книги
К.А. Жевлаков, А.М. Слинько, И.П. Шестаков, А.И. Ширшов Кольца, близкие к ассоциативным М., Наука 1978
Е. Н. Кузьмин, И. П. Шестаков, “Неассоциативные структуры”, Алгебра – 6, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 57, ВИНИТИ, М., 1990, 179–266
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml ... n_lang=rus

[bayak]

hamilton в сообщении #569200 писал(а):

Термин сомнительный, поскольку алгебры Клиффорда по определению ассоциативны. Альтернативна именно алгебра октонинонов, но она не является Клифффордовой...

У него была другая мотивация (посмотрите соотв. гл. в его "Неевклидовых геометриях").

hamilton в сообщении #569200 писал(а):

Топологическая сторона октонионов - это очень интересно. А как может выглядеть альтернативность умножения в такой интерпретации ? Можно ли пощупать, где там в результате окажется хотя бы x^2 ?

У меня нет топологической интерпретации октонионов. Но топологический фактор играет роль и в классификации алгебр Клиффорда.

[hamilton]

bayak в сообщении #569214 писал(а):

У меня нет топологической интерпретации октонионов.

да, на тему кватернионов по топологии есть работы Понтрягина, а вот для октонионов до сих пор вопрос открыт.

В 1932 году Понтрягин опубликовал замечательную теорему, согласно которой кватернионы можно отождествить
с локально компактным связным топологическим телом, если предположить, что операции сложения и умножения непрерывны.
Pontrjagin L., Uber stetige algebraishe Körper, Ann. Math. 33 (1932), 163-174
Л. С. Понтрягин Непрерывные группы 3 изд. М. Наука, 1973

Что необходимо "отминусовать" от кватернионов в топологии, чтобы сохранилась альтернативность умножения? Пока это неизвестно

Правда, Муфанг в 1933 году показала, что с точки зрения аксиом геометрии неассоциативность появляется в случае отказа от аксиомы Дезарга.
R. Moufang, Alternativkörper und der Satz vom vollständigen Vierseit, Abh. Math. Sem. Hamb. 9 (1933), 207-222
http://www.sciencedirect.com/science/ar ... 6003000491
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Bio ... ufang.html

Для октонионов сохраняется весьма полезная операция инволюции умножения.

Мур (1935) и Дьедонне (1953) продемонстрировали свойства операции инволюции для кватернионов.
E. H. Moore, General Analysis Part 1, Memoirs of Amer. Phil. Soc., Philadelphia (1935).
J. Dieudonn`e, On the structure of unitary groups II, Amer. J. Math. 75 (1953), 665–678.
Ж. Дьедонне Геометрия классических групп М., Мир, 1974

Для алгебр Клиффорда в общем случае дела с инволюцией уже далеко не так хороши.

[Time]

bayak в сообщении #567996 писал(а):

Мне не удалось подобрать такие коэффициенты, откуда я сделал вывод, что непрерывных линейных преобразований, сохраняющих метрику Чернова не существует.

Надеюсь, что в ближайшие несколько лет Вы, наконец, покончите с изометрическими преобразованиями пространства с метрикой Чернова и перейдете к изучению нелинейных преобразований, инвариантами которых являются углы и полиуглы. Напомню, что единственной ниточкой, возможно, соединяющей симметрии пространства Чернова с пространством Минковского могут оказаться только преобразования сохраняющие тринглы.

bayak в сообщении #568926 писал(а):

А Вы помогите понять. Кватернионы как-то соотносятся с физическим прострнаством? Насколько я понимаю они связаны (по норме) с 3-сферой и с 3-мерным евклидовым пространством как с пространством, которое вкладывается в алгебру кватернионов, а для того, чтобы включить в эту схему время понадобится пара кватернионов.

hamilton вряд ли кому поможет что-то толковое понять. Для этого нужно сперва самому хорошо разбираться. Кроме отдельных моментов связанных с кватернионами, он почти ничего не знает, не умеет и не хочет уметь.
С кватернионами наиболее просто и естественно связывается геометрия четырехмерного евклидова пространства. Иные интерпретации являются производными от этой. Для связи с пространством Минковского приходится прибегать к восьмикомпонентной алгебре бикватернионов (комплексных кватернионов), в котором рассматривается четырехмерное подпространство. Однако при этом приходится мириться с четырьмя "лишними" измерениями, а так же с неудобным фактом, что метрика восьмимерного пространства бикватернионов уже не квадратичная, а биквадратичная финслерова. Но на это обычно закрывают глаза.

hamilton в сообщении #568835 писал(а):

но, вообще говоря, я искренне рад за Time - уровень его образования заметно повысился за прошедшие полгода

Уровень моего образования остался примерно на том же месте. А вот что Вы в этой теме забыли вместе с кватернионами? Напомню, что тема посвящена аналогам теории комплексного потенциала. То есть, не просто неким выделенным функциям от гиперкомплексных чисел, но когда они сами образуют комплексы, как это имело место на комплексной плоскости, где рассматривается не одна функция, а пара, задающая два множества взаимно ортогональных кривых линий. В кватернионах, какими бы изощренными не были способы получения выделенных функций на них, невозможно указать широкое разнообразие четверок функций, объединение которых в гиперкомплексный потенциал давало бы четверку взаимно ортогональных трехмерных гиперповерхностей. Такие четверки заканчиваются на множестве дробнолинейных функций, что в точности соответствует множеству конформных преобразований четырехмерного евклидова пространства, соответствующего кватернионам.
В связи с вышесказанным, прошу, либо указать хотя бы идею, как с якобы широким множеством "аналитических функций" от кватернионов связывать четверки скалярных функций, задающих четверки гиперповерхностей (что и говорило бы о возможности обобщения на кватернионы методов ТКП), либо не засорять данную тему не относящимися к ней сведениями.

[hamilton]

Time в сообщении #569258 писал(а):

Напомню, что тема посвящена аналогам теории комплексного потенциала.

Проблема в том, что некоторые люди сами не понимают, о чем пишут.
Если бы все было нормально, я бы не вмешивался. Глубже надо копать, чтобы разобраться...
Вам известно, что метод комплексного потенциала не существует без операции инволюции? В приложениях реально работает не аналитические функции комплексной переменной, а антианалитические.
Поскольку в алгебрах Клиффорда с инволюцией дела обстоят не очень хорошо, это важный звонок для специалистов. А если кому-то такие тонкости ничего не говорят - это уже их проблема, а не моя.
Почему-то против алгебр Клиффорда вы не возражали? А кватернионы являются одной из алгебр Клиффорда.
Более полугода назад я писал в форуме, что построил и опубликовал обобщение метода комплексного потенциала для некоторых неоднородных сред и давал пояснения. Уже сделано несколько докладов на международном уровне, мои результаты признаны специалистами в Германии, Бельгии и Англии.
Если бы вы на самом деле хотели разобраться в этом вопросе, а не просто огульно хаять, могли бы увидеть суть дела в статье, которая опубликована в вашем же журнале.
А геометрия Лобачевского и метрика Пуанкаре в теории функций комплексной переменной возникает совсем не по той причине, что в основе алгебры комплексных чисел должна лежать неевклидова метрика. Это свойство теории аналитических функций.
Уровень образования надо повышать, дорогой товарищ. Иначе толком так и не разберетесь, будете и дальше путаться. Выбросить и забыть классику не выйдет.
Ведь вы пытаетесь получить новые достижения на уровне мировой науки?

[hamilton]

Time в сообщении #569258 писал(а):

А вот что Вы в этой теме забыли вместе с кватернионами?

hamilton в сообщении #568835 писал(а):

Time в сообщении #566715 писал(а):
Конформные же преобразования имеют отношение не столько к умножению, сколько к аналитическим функциям. На кватернионах умножение так же есть, а вот с конформными преобразованиями в соответствующем пространстве совсем плохо. Всего 15-параметрическая группа. Кстати, в точности равная группе аналитических функций кватернионной переменной.

Совсем не я был инициатором легкомысленной постановки глубоких проблем. Прокомментируйте свою фразу в этой теме насчет кватернионов.
Такие грубейшие ошибки не могут проходить незамеченными на математическом форуме, так как влекут за собой дальнейшую серию ошибочных выводов.

[hamilton]

Маркушевич А.И. Очерки по истории теории аналитических функций М.-Л., 1951
(с.65) "Можно утверждать, что основной смысл обширного цикла фундаментальных исследований конца 19-го, начала 20-го веков
(Ф.Клейн, А.Пуанкаре, П.Кебе) заключался в постепенном выяснении того обстоятельства,
что геометрия Лобачевского есть геометрия аналитических функций одного комплексного переменного".

Ключевым признаком в разработке нового подхода к теории функций кватернионной переменной
Лойтвилером в конце 80-х, начале 90-х годов 20-го века стала гиперболическая метрика многомерного пространства Лобачевского,
совпадающая с римановой метрикой, ассоциированной с эллиптическим уравнением Вейнстейна.
Уравнение Вейнстейна (the Weinstein equation) впервые было рассмотрено в 50-е годы 20-го века
в рамках GASPT - generalized axially symmetric potential theory в университете Мэриленда, США.
Оказалось, что потенциальная функция, реализуемая для достаточно широкого класса функций кватернионной переменной,
впервые охарактеризованного Лойтвилером, в точности удовлетворяет эллиптическому уравнению Вейнстейна.
Гамильтон, Клейн и Пуанкаре об этом уравнении еще ничего не знали...

Класс аналитических функций редуцированной кватернионной переменной, открытый Лойтвилером в 1992 году,
имеет потенциальную функцию, удовлетворяющую уравнению Вейнстейна в R^3.
Соответственно мы имеем дело с гиперболической метрикой трехмерного пространства Лобачевского.

[Time]

hamilton,
у вас прямо таки болезненная агрессивность. Не думаю, что она от хорошей жизни, но входить в положение я не собираюсь. Если хотите продолжать диалог в том же режиме, то поищите себе другого собеседника.
С другой стороны, вы не ответили на мой вопрос. Без реакции на него, я на ваши так же отвечать не стану.