А Вы помогите понять.
В журнале Time опубликован перевод замечательной статьи Э.Садбери, Кватернионный Анализ
http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... /02-09.pdfна странице 137 там приведены простые формулы (3.1), из которых вытекает естественное следствие
"Поэтому теория кватернионных степенных рядов будет тождественна теории действительных аналитических функций на R^4".
Как известно еще со времен Лагранжа (конец 18-го века), определение аналитической функции дается как аналитическая зависимость независимой переменной x и зависимой переменной y : = f(x).
Ж. Лагранж "Теория аналитических функций, содержащая принципы дифференциального исчисления..."(1797)
На фундаменте Лагранжа строил свою теорию Коши
http://alexandr4784.narod.ru/B21/b21_13.pdfТаким образом, множество аналитических функций кватернионной переменной равносильно множеству вещественных аналитических отображений из R^4 в R^4.
Теория аналитических функций комплексной переменной очень сильно сужена
в силу известного свойства, что любые функции, удовлетворяющие условиям Коши-Римана
(исторически правильно называть условиями Даламбера-Эйлера, смотрите Маркушевич А.И. Очерки по истории теории аналитических функций),
описываются конформными отображениями на плоскости.
Исходя из этого, очевидно, что узкие рамки конформных отображений непригодны для характеризации реальных функций кватернионной переменной,
которые построил сам Гамильтон в своей книге Lectures on quaternions, Dublin, 1853.
Интересны ли комплексные числа сами по себе в алгебраическом и геометрическом смысле?
Да, они были интересны еще в начале 19-го века, когда только была несколько раз переоткрыта разными людьми диаграмма Весселя-Аргана-Гаусса,
Гаусс и Гамильтон впервые построили теорию комплексных чисел как пар вещественных чисел.
Тогда все это было очень ново и актуально.
Гамильтон после своих работ по комплексным числам в 30-е годы 19-го века вначале пытался строить алгебру триплетов, то есть алгебру чисел с двумя независимыми мнимыми единицами.
Замкнутости по умножению не получалось. Есть исторические статьи ирландцев на английском, там можно об этом прочитать.
Дальше стало ясно, что алгебраический выход лежит в четырехмерном евклидовом пространстве.
Что может представлять собой в физическом или механическом смысле многомерное евклидово пространство, понимал еще Лагранж, и именно этот подход развил Гамильтон в прекрасной системе уравнений, которая позже была названа его именем, и сейчас применяется даже в квантовой механике...
Ясно, что главными в уравнениях являются функции, причем желательно аналитические...
Но фундаментальная проблема аналитических функций кватернионной переменной заключалась в том, что там не существует общей системы первого порядка, как в случае аналитических функций комплексной переменной. Вообще говоря, в R^4 их должно существовать бесконечное множество...
Одно можно утверждать с уверенностью - что множество конформных отображений там вырождено и поэтому неинтересно для практических задач физики и механики.
Кто возьмется всерьез утверждать, что тень на стене имеет свойства трехмерного тела?
Любому здравомыслящему человеку в обычной жизни ясно, что на плоскости много хорошего не построить, если речь идет о существенно пространственных телах.
Но оказывается, что современным специалистам по теории функций здравый смысл может легко отказать.
Подавляющее большинство, получившее образование по Бурбаки, будет цепляться за устаревшие догмы и просто не увидит принципиальной новизны...