2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Дисперсия выборочного эксцесса.
Сообщение27.04.2012, 15:17 
Аватара пользователя


21/01/09
3925
Дивногорск
Формула зависит только от объёма выборки $n$.

$D_e=\frac{24n(n-2)(n-3)}{(n+1)^2(n+3)(n+5)}$

Как выводится, не подскажете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия выборочного эксцесса.
Сообщение01.05.2012, 11:53 
Аватара пользователя


03/12/08
351
Букачача
Ну а что такое эксцесс - это количественная характеристика, выражающая меру остроты пика распределения случайной величины. От чего соответственно может тогда зависеть дисперсия такой величины - только от размера выборки!
Т.е. по сути вы вычисляете дисперсию с.в. $E$, принимающей значение коэффициента эксцесса для выборок всех размеров $n\in\mathbb{N}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия выборочного эксцесса.
Сообщение03.05.2012, 09:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9904
Москва
Ну, прежде всего замечу, что это дисперсия оценки эксцесса в предположении, что распределение случайной величины нормальное. То есть эксцесс её заведомо равен нулю, поэтому и не входит в оценку ничего, кроме объёма выборки (чем он выше - тем ближе будет выборочный эксцесс к теоретическому значению).
Поскольку для нормального распределения известны все моменты, то вычисления дисперсии оценки эксцесса сводятся к довольно обширным, но простым по идее выкладкам. Их можно найти у Крамера, "Математические методы статистики", М., Мир, 1975 (есть и другие издания) в параграфе 29.3 (желательно ознакомление если не со всем предшествующим материалом, то с гл. 27 и 28). Там есть ссылки на первоисточники данного результата.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия выборочного эксцесса.
Сообщение03.05.2012, 12:59 
Аватара пользователя


21/01/09
3925
Дивногорск
Спасибо, уже понял. Значит для произвольного распределения например логистического дисперсия эксцесса находится по другой формуле, которую никто не выводил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия выборочного эксцесса.
Сообщение04.05.2012, 08:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9904
Москва
Ну, у Кендалла и Стьюарта, "Теория распределений", М., Наука, 1966 в гл. 10 можно найти формулу для дисперсии 4-го семиинварианта (который и есть эксцесс), выражаемую через моменты распределения (2-й - 8й). Правда, она выводится не с теми поправками на смещённость, которые вводились при выводе формулы для эксцесса нормального распределения (и без которых формула для дисперсии эксцесса нормального выглядит малость проще: $\frac {24} n$, но для больших n эти поправки весьма малы, а при малых считать эксцесс, тем более его дисперсию дело несколько ненадёжное.
Так что, подставив моменты желаемого распределения, можно получить формулу для дисперсии, работающую при больших n.

-- 04 май 2012, 09:21 --

Для логистического можно вывести самому. Взяв у Кендалла формулу
$D\varkappa_4=\frac {\mu_8-12\mu_6\mu_2-8\mu_5\mu_3-\mu_4^2+48\mu_4\mu_2^2+64\mu_3^2\mu_2-36\mu_2^4} n$
(оговорка о том, что это без поправок на несмещённость, так что верна асимптотически, остаётся)
а моменты логистического распределения равны
$\mu_n=s^n\pi^n(2^n-2)|B_n|$
где $B_n$ числа Бернулли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия выборочного эксцесса.
Сообщение04.05.2012, 21:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9904
Москва
Уточнение - эксцесс это нормированный семиинвариант.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия выборочного эксцесса.
Сообщение05.05.2012, 08:52 
Аватара пользователя


21/01/09
3925
Дивногорск
Допустим что удалось посчитать выборочный коэффициент эксцесса и его дисперсию. Тогда доверительный интервал для него можно найти только через неравенство Чебышева?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия выборочного эксцесса.
Сообщение05.05.2012, 12:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9904
Москва
Ну, теоретически эта оценка асимптотически нормальна. Но при каких N можно опираться на нормальность - не вем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия выборочного эксцесса.
Сообщение05.05.2012, 13:25 
Аватара пользователя


21/01/09
3925
Дивногорск
Спасибо. Ещё вопрос, как в Экселе определяется выборочный коэффициент эксцесса? Там коэффициенты перед выборочным эксцессом (зависят от n), это для несмещённости оценки? Или это как-то связано с нормальностью?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия выборочного эксцесса.
Сообщение07.05.2012, 10:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9904
Москва
Для несмещённости, да. По тому же принципу, что и поправка для дисперсии $\frac n {n-1}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия выборочного эксцесса.
Сообщение07.05.2012, 10:46 
Аватара пользователя


21/01/09
3925
Дивногорск
Евгений Машеров в сообщении #568234 писал(а):
Для несмещённости, да.

И только для определения несмещённой оценки выборочного эксцесса для нормального распределения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия выборочного эксцесса.
Сообщение07.05.2012, 15:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9904
Москва
Ну, так основное применение эксцесса - понять, нормальное ли распределение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия выборочного эксцесса.
Сообщение07.05.2012, 16:45 
Аватара пользователя


21/01/09
3925
Дивногорск
В Экселе функция ЭКСЦЕСС считает несмещённую оценку коэффициента эксцесса только для нормального распределения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия выборочного эксцесса.
Сообщение07.05.2012, 21:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Не так. В Excel функция ЭКСЦЕСС считает оценку коэффициента эксцесса, которая для нормального распределения будет несмещённой. Она приведена в книге Г.Крамера в формуле (29.3.8) как $G_2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дисперсия выборочного эксцесса.
Сообщение08.05.2012, 08:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9904
Москва
Поправка на смещение зависит от высших моментов. Которые для нормального распределения выражаются известным образом через дисперсию. Для другого распределения необходимо знать эти моменты.
То есть, вообще говоря, поправки будут другими и зависеть от неизвестных (возможно, оцениваемых по выборке) величин. Более того, есть распределения, у которых нет конечных моментов соответсвующего порядка, соответственно, не могут быть и таких поправок.
Но поскольку почти что единственное приложение эксцесса - проверить "по-быстрому" гипотезу, что распределение нормально, то эксцесс и его дисперсия, рассчитанные в предположении нормальности, достаточны.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group