Обобщение.
Дано произвольное тело, ограниченное кусочно-гладкой поверхностью

. В каждой точке поверхности построена единичная внешняя нормаль

. Тогда

.
Доказательство этого, более общего утверждения, рассматриваемого в пространстве произвольной размерности.
Возьмём любой вектор

единичной длины и сдвинем исходное тело в направлении этого вектора на бесконечно малое расстояние

. Объём тела при этом не изменится. С другой стороны, приращение объёма есть разность объёмов добавленной и убранной областей. В любой точке границы

элемент этого приращения равен взятому с соответствующим знаком объёму наклонной призмы с высотой, равной проекции вектора смещения

на нормаль

и площадью основания

, т.е.

. Значит

, что можно переписать как

, где

.

есть производная изменения объёма при сдвиге тела в направлении

, которая равная нулю. Значит и

для призвольного единичного вектора

, откуда следует что

.
А доказывать математические теоремы из физических соображений, какими бы очевидными эти соображения не казались, на мой взгляд, неправильно - так мы что угодно можем доказать.