Сумма нормалей к граням равна 0

[INGELRII]

Профессор Снэйп в сообщении #568035 писал(а):

А Вы как в десятом классе решали?

Точно так же. Вот эти выкладки вызвали у меня чувство сродни мистическому прозрению.

Oleg Zubelevich
Все верно, из физических соображений это очевидно. Но я в те времена в физике разбирался гораздо хуже, чем в математике. Да и сейчас-то, если честно...

[Dave]

Padawan в сообщении #568036 писал(а):

Обобщение.
Дано произвольное тело, ограниченное кусочно-гладкой поверхностью $S$. В каждой точке поверхности построена единичная внешняя нормаль $\vec n$. Тогда$\int_S \vec n dS=0$.

Доказательство этого, более общего утверждения, рассматриваемого в пространстве произвольной размерности.

Возьмём любой вектор $\vec u$ единичной длины и сдвинем исходное тело в направлении этого вектора на бесконечно малое расстояние $dt$. Объём тела при этом не изменится. С другой стороны, приращение объёма есть разность объёмов добавленной и убранной областей. В любой точке границы $S$ элемент этого приращения равен взятому с соответствующим знаком объёму наклонной призмы с высотой, равной проекции вектора смещения $dt \, \vec u$ на нормаль $\vec n$ и площадью основания $dS$, т.е. $(dt \, \vec u, \vec n) \, dS$. Значит $dV = V_{dt}-V_{0}=\int_S (dt \, \vec u, \vec n) dS$, что можно переписать как $\frac {dV} {dt} = \int_S (\vec u, \vec n) dS = (\vec u, \int_S \vec n dS)=(\vec u, \vec m)$, где $\vec m=\int_S \vec n dS$.
$\frac {dV} {dt}$ есть производная изменения объёма при сдвиге тела в направлении $\vec u$, которая равная нулю. Значит и $(\vec u, \vec m)=0$ для призвольного единичного вектора $\vec u$, откуда следует что $\vec m=\vec 0$.

А доказывать математические теоремы из физических соображений, какими бы очевидными эти соображения не казались, на мой взгляд, неправильно - так мы что угодно можем доказать.

[Oleg Zubelevich]

Dave в сообщении #568180 писал(а):

Доказательство этого, более общего утверждения, рассматриваемого в пространстве произвольной размерности.

вообще-то это банальное следствие теоремы Стокса

Dave в сообщении #568180 писал(а):

А доказывать математические теоремы из физических соображений, какими бы очевидными эти соображения не казались, на мой взгляд, неправильно

вроде бы с этим никто не спорил:

Oleg Zubelevich в сообщении #568091 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #568046 писал(а):
Вообще, правомерно ли решать математические задачи ссылкой на физические законы?

нет, не правомерно

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #568151 писал(а):

может и не получиться (в случае, когда проекция четвёртой вершины окажется за пределами грани).

Ничего страшного: просто тогда из трёх площадей проекций одна или две окажутся отрицательными.

[worm2]

Кстати, не вижу никаких препятствий, чтобы фокус с проекциями прокатил непосредственно для рассматриваемого многогранника. И не только для выпуклого. Хотя для выпуклого чуть нагляднее.

[Padawan]

И проектировать можно на любую плоскость, не обязательно на грань. Раз на любую плоскость проекция равна нулю, то и сама сумма равна нулю.

[Dave]

А вот такая задача.

Пусть в трёхмерном пространстве имеется некоторый многогранник. Через центр тяжести каждой грани провели прямую $l_i$, перпендикулярную этой грани, и взяли вектор, задающий кратчайший путь от начала координат до этой прямой. Потом этот вектор увеличили пропорционально площади соответствующей грани и повернули относительно прямой $l_i$ на $90 \textdegree$ по часовой стрелке (если смотреть вдоль $l_i$ снаружи внутрь многогранника). Докажите, что сумма полученных векторов равна нулю.

[Oleg Zubelevich]

теорему о движении центра масс мы обсудили, теперь, видимо, настала очередь теоремы об изменении кинетического момента

[Dave]

Oleg Zubelevich в сообщении #568655 писал(а):

теорему о движении центра масс мы обсудили, теперь, видимо, настала очередь теоремы об изменении кинетического момента

Кому как удобнее. Лично я знаю три разных доказательства последнего утверждения.

[gris]

А я буквально несколько дней назад натолкнулся на школьную задачу: существует ли выпуклый многогранник, для которого проекция центра масс на каждую грань лежит вне этой грани?
Вроде бы, если количество граней конечно, то можно сделать вечный двигатель.
А если бесконечно? Ведь физически там некий ряд сходится, и процесс останавливается. А чисто математически? Бывают ли такие многогранники, бесконечные?

А мне очень нравятся физические интерпретации чисто математических теорем. Такие доказательства можно приводить как дополнение к обычным, строгим. Школьникам загадочным голосом сказать: А вы знаете, как теорему Пифагора доказывает Oleg Zubelevich? Да они сразу заинтересуются.

[Oleg Zubelevich]

gris в сообщении #568975 писал(а):

А я буквально несколько дней назад натолкнулся на школьную задачу: существует ли выпуклый многогранник, для которого проекция центра масс на каждую грань лежит вне этой грани?
Вроде бы, если количество граней конечно, то можно сделать вечный двигатель.

это и подсказывает идею доказательства: рассмотрим грань расстояние от плоскости которой до центра масс минимальное (это соответствует минимуму потенциальной энергии) и докажем ,что проекция центра масс попадает в эту грань. Хотя, конечно, это уже чистая педагогика, тривиальную задачу как не решай она всеравно решится, и догадаться можно и с физикой и без физики и десятью способами.

[EtCetera]

gris
Что-то очень похожее на то, что вы хотите получить (но не совсем то), обозначается в русском языке удивительным словом с двумя буквами ё $\text{---}$ гёмбёц.