Бросание игральной кости и вероятность сказать правду

[Henrylee]

не нравится мне это условие. Вроде как хочется, чтобы $3/8$ было сначала. А потом приходит на ум формулировка с концовкой: "мужчина говорит, что выпало ИКС, какова вероятность, что выпало ИКС?".
Или вообще вот так: "мужчина говорит, что выпало 4, какова вероятность, что выпало 6?".

[dovlato]

Кстати, задача легко обобщается на "кость" с $n$ одинаковыми гранями, и с вероятностью правдивого ответа $p \quad (q=1-p)$.
Тогда $p(A)=\frac1{n-1}\frac{n-1}nq+\frac1n p=\frac{p+q}n=\frac1n$.
Отсюда по Байесу: $p(H_0|A)=\frac{\frac1np}{\frac1n}=p$
В общем, мужики, надо было сразу рассматривать этот общий случай и не путаться в дробях.

[--mS--]

Н-да... Подумав как следует, беру все неприятные слова назад и приношу извинения всем, кого обидела :) Обещаю в качестве искупления грехов написать 30 раз слово "симметрия" и 20 раз фразу "соврать, когда выпало не 6, есть пять возможностей". Нет, 10 раз :)

[Joker_vD]

(Оффтоп)

--mS-- в сообщении #424551 писал(а):

Обещаю в качестве искупления грехов написать 30 раз слово "симметрия" и 20 раз фразу "соврать, когда выпало не 6, есть пять возможностей". Нет, 10 раз :)

Не забудьте отсканировать листочек и выложить на обозрение

[--mS--]

Joker_vD в сообщении #424553 писал(а):

Не забудьте отсканировать листочек и выложить на обозрение [/off]

(Оффтоп)

Джентльмены на слово даме не верят?

[ewert]

Всё-таки интуитивные соображения тоже следует оформлять, а то мало ли что. Напрашивается:

$P\big(\{\text{Выпало 6}\}\big|\{\text{Сказал 6}\}\big)=P\big(\{\text{Сказал правду}\}\big|\{\text{Сказал 6}\}\big)=P\big(\{\text{Сказал правду}\})\big=\dfrac34$.

Это если считать независимыми события $\{\text{Сказал правду}\}$ и $\{\text{Сказал 6}\}$, да только это не вполне очевидно: безусловно независимыми были бы события $\{\text{Сказал правду}\}$ и $\{\text{Выпало 6}\}$, а так нужны ещё какие-то допзаклинания. Ну скажем такие:

$P\big(\{\text{Сказал 6}\}\big|\{\text{Сказал правду}\}\big)=P\big(\{\text{Выпало 6}\}\big|\{\text{Сказал правду}\}\big)=$
$=P\big(\{\text{Выпало 6}\}\big)=\dfrac{1}{6}=P\big(\{\text{Сказал 6}\big)\,,$

так что независимость и впрямь есть.

Или другой вариант заклинаний, непосредственно по первой строчке. События $P\big(\{\text{Сказал }k\}\big)$, $k=1,2,3,\ldots$ образуют полную группу гипотез, причём равновероятных. Условные вероятности $P\big(\{\text{Сказал правду}\}\big|\{\text{Сказал }k\}\big)$ в силу симметрии также одинаковы -- а значит, по формуле полной вероятности совпадают с безусловными.

Ну так или иначе, приходится позаклинать. А можно ли оформить всё это без занудства, но и не скатываясь при этом к размахиванию руками?...

[battousai]

Ответ этой задачи 75%. Т.к исход 1 никак не влияет , скажет мужчина правду или неправду.При любом раскладе , вероятность будет 75%. Как исход первого может повлиять на 2? Объясните. Причем тут условная вероятность, события же не связаны.

[banet]

jrMTH в сообщении #424225 писал(а):

Есть мужчина, который говорит правду в 3-х случаях из 4-х.
Бросаем 6-ти гранную игральную кость. Мужчина говорит что выпало 6.
Какова вероятность что выпало дейсвительно 6?

"Бритва Оккама"-3/4

[Olaf]

можно предисторию вообще не рассматривать
любое утверждение мужика имеет вероятность 3/4 быть правдой

[banet]

Я был неправ с ответом в 3/4. Для меня однозначно неопределяем сам вопрос, а неоднозначный ответ пока смысла не имеет!

[Lukin]

Могу предложить такую модель «мужчины-кубика».
Возьмем тетраэдр, три стороны которого сделаны из красного стекла, одна - из синего, внутри игральная кость. Бросаем тетраэдр, красная грань выпадает с вероятностью $3/4$, это означает «мужчина говорит правду», синяя с вероятностью $1/4$, это означает «мужчина лжет». Грани кубика выпадают с вероятностью $1/6$, независимо от выпавшей на тетраэдре грани.
Определим «алгоритм» ответа мужчины следующим образом.
Если выпала красная грань - произносится число $y$ равное числу выпавшему на кубике $x$.
Если выпала синяя грань - произносится число $y$ не равное числу $x$ выпавшему на кубике, т.е. число $\neg x$. Распределение вероятностей для конкретных чисел из множества $\{1..6\}$ в данном случае неизвестно и может быть любым, т.к. "функция отрицания" неизвестна. Можно задать такой алгоритм: выбирается грань, противоположная выпавшей; можно такой: выбирается наибольшее число на одной из боковых граней кубика; можно такой: из корзины с пяти шарами, пронумерованными числами из множества $\{1..6\} / x$ случайным образом вынимается один шар. "Функция выбора" может быть любой.
Суть в том, что вероятность произнесения мужчиной любого числа из множества $\{1..6\}$ останется равновероятной независимо от того, что выпало на кубике, независимо от того, врет он или говорит правду, и не зависимо от "внутреннего распределения" вероятностей выбора мужчиной каждого числа из множества $\{1..6\} / x$, если он решил солгать.
В качестве эксперимента я набросал программку с несколькими "функциями отрицания" и прогнав их на 1000 "бросков" получил совершенно нормальное равновероятное распределение ответов мужчины на множестве $\{1..6\}$ не зависимо от "функции выбора".
Теперь по сути вопроса.
Где-то на этом форуме обсуждалась задача о двух монетах. Спрашивалось какова вероятность, что выпало две решки, если одна решка уже выпала ? Ответ сводился к следующему. Если одна решка уже выпала, то вероятность того, что на второй монете выпала решка, равна $1/2$, а вероятность того, что на обоих выпала решка равна $1/3$.
Так и здесь. Допустим известно выпавшее на кубике число, или известно, что сказал мужчина. Что спрашивается ? Если, какова вероятность, что "выпало 6" или "мужчина сказал 6", то вероятность равна $1/6$. Если же спрашивается, какова вероятность, что в обоих случаях "выпало" одно и то же число, то вероятность равна $3/4$.

jrMTH в сообщении #424225 писал(а):

Есть мужчина, который говорит правду в 3-х случаях из 4-х.
Бросаем 6-ти гранную игральную кость. Мужчина говорит что выпало 6.
Какова вероятность что выпало дейсвительно 6 ?

Мой ответ $P=1/6$, т.к. стремление мужчины говорить правду в $3/4$ случаев не окажет никакого волшебного воздействия на выпадение шестерки на игральной кости.

[man]

Lukin

Цитата:

Если выпала синяя грань - произносится число $y$ не равное числу $x$ выпавшему на кубике, т.е. число $\neg x$. Распределение вероятностей для конкретных чисел из множества $\{1..6\}$ в данном случае неизвестно и может быть любым, т.к. "функция отрицания" неизвестна. Можно задать такой алгоритм: выбирается грань, противоположная выпавшей; можно такой: выбирается наибольшее число на одной из боковых граней кубика; можно такой: из корзины с пяти шарами, пронумерованными числами из множества $\{1..6\} / x$ случайным образом вынимается один шар. "Функция выбора" может быть любой.
Суть в том, что вероятность произнесения мужчиной любого числа из множества $\{1..6\}$ останется равновероятной независимо от того, что выпало на кубике, независимо от того, врет он или говорит правду, и не зависимо от "внутреннего распределения" вероятностей выбора мужчиной каждого числа из множества $\{1..6\} / x$, если он решил солгать.

К сожалению, Вы, ошиблись, "функция отрицания", критически важна для определения вероятности события "ответы" совпали.
Объясню, почему.
Вы писали: "можно такой: выбирается наибольшее число на одной из боковых граней кубика;".
Т.е. вероятность, что выпало $1$, если "мужчина лжет" равна нулю !
Это означает, что "функция выбора или отрицания" вносит вклад во все вероятностное пространство, становится важна его топология, метрика ! Если Вы более скрупулезно сравните вероятности выпадения $1$ на кубике и вероятности произнесения мужчиной числа $1$, при таком алгоритме (хотя бы на примере своей программки), в зависимости от выбранной "функции отрицания" или "функции выбора". Так что, Ваш ответ $1/6$ приемлем лишь частично, как частный случай, в предположении об эквивалентности "функций выбора".

[banet]

Эта задача, как и все остальные, связана с однозначной согласованностью трактовки большинством, и, как результат, таким же определённым ответом, чем и обуславливается на мой взгляд его истинность. Поэтому, в определённом смысле, для данной задачи и на этом форуме, информативным является суммарное соотношение ответов.
Я для себя не вижу оправданий нагромождать эту задачу аналогиями и расширять таким образом разночтение, кроме как исходить из уже существующего условия, смысл которого связан с синтаксисом.
Слово "действительно" связывает два разных, свершившихся, а не ожидаемых событий: выпал кубик и сказал 6 при 3/4 правды; поэтому в этом случае, словосочетание "какова вероятность" скорее имеет отношение к ожидаемому событию, а именно - вероятность наших ответов...

Так как события разные, смешивать их в одну цифру, у меня нейроны не позволяют, поэтому ответ "рекурсивно-плоский": 1/6 при 3/4 правды.

[shtudent]

jrMTH в сообщении #424225 писал(а):

Есть мужчина, который говорит правду в 3-х случаях из 4-х.
Бросаем 6-ти гранную игральную кость. Мужчина говорит что выпало 6.
Какова вероятность что выпало дейсвительно 6?

Я вообще человек недоверчивый. И тем более зная что мужик врет в одном из четырех случаев, я бы не стал ему доверять. Поэтому ответом этой задачи будет $1/6$.

-- 26.06.2012, 09:20 --

А вообще, нам не обязательно знать соврал мужчина или сказал правду.
Ведь надо всего лишь найти

jrMTH в сообщении #424225 писал(а):

Какова вероятность что выпало дейсвительно 6?

Шестерка может выпасть и при условии что мужчина сказал правду, и при условии что он солгал.

[Евгений Машеров]

Задача недоопределена. Если, что делает мужчина, если ему выпало говорить правду, понятно, то что он делает, если надо лгать - из приведенных условий неясно. Если, скажем, лгать он может, вообще утаивая факт бросания, то есть лживый ответ звучит: "А ещё не бросали!", то при ответе "выпало 6" ясно, что вероятность того, что выпало именно 6 единичная. Если ложь состоит в том, что если выпало 6, надо называть другое число, а если не 6, то обязательно 6, то уже нужен Байес.
$\frac {\frac 1 6 0.75}{\frac 1 6 0.75 + \frac 5 6 0.25}=\frac 3 8$
Если лгущему при выпавшем "не шесть" надо называть любое число с равной вероятностью, включая 6, то
$\frac {\frac 1 6 0.75}{\frac 1 6 0.75 + \frac 5 6 \frac 1 6 0.25}=\frac {18} {23}$
Если "ложь" состоит в том, что надо ещё раз бросить кубик и указать его результат, то очевидный ответ 75%
И т.п.