Объясните, что такое производная, чтобы понял школьник

[ZARATUSTRA]

Здравствуйте. В школе проходим производную. Это, пожалуй, единственная тема в школьной программе, по котором мне не 10 баллов. Дело в том, что я себя чувствую неуверенно, если знаю, скажем, только формулы, но сущность темы не понимаю. Так дело и с производной. Формулы есть - решаем. НО. Я чувствую себя очень(!) неуверенно, ибо не могу понять, что это такое. В школе особо и не объясняли, а только дали формулы. Читал и в википедии, и в различных книжках, но там написано скорее для студентов, ибо мне трудно понять.
Может кто-нибудь объяснить, что есть производная и как её можно применять на графиках и функциях, чтобы было понятно школьнику(!в этом и сложность: объяснить, чтобы было понятно школьнику!).
Благодарю за любую помощь.

P.S. Если не в том разделе разместил, то прошу модераторов переместить. Спасибо.

[ewert]

ZARATUSTRA в сообщении #565956 писал(а):

Формулы есть - решаем. НО. Я чувствую себя очень(!) неуверенно, ибо не могу понять, что это такое. В школе особо и не объясняли, а только дали формулы

Тяпичная бяда, многократно встречающаяся.

У Вас ведь в школе, небось, и физику давали, помимо математики?... -- Так вот и воспринимайте производную как скорость. В математически-обобщённом смысле -- как скорость чего угодно. Как скорость изменений значений функции в зависимости от изменений её аргумента. Больше скорость (сиречь производная) -- функция при прочих равных условиях меняется сильнее (конечно, с учётом знака). Меньше -- значит, слабее.

Отсюда всё следует вполне естественно: и наклоны графиков, и даже выпуклости.

[ZARATUSTRA]

ewert в сообщении #565961 писал(а):

ZARATUSTRA в сообщении #565956 писал(а):

Формулы есть - решаем. НО. Я чувствую себя очень(!) неуверенно, ибо не могу понять, что это такое. В школе особо и не объясняли, а только дали формулы

Тяпичная бяда, многократно встречающаяся.

У Вас ведь в школе, небось, и физику давали, помимо математики?... -- Так вот и воспринимайте производную как скорость. В математически-обобщённом смысле -- как скорость чего угодно. Как скорость изменений значений функции в зависимости от изменений её аргумента. Больше скорость (сиречь производная) -- функция при прочих равных условиях меняется сильнее (конечно, с учётом знака). Меньше -- значит, слабее.

Отсюда всё следует вполне естественно: и наклоны графиков, и даже выпуклости.

Спасибо. Может еще подскажите, как её использовать?(в рамках школьной программы). Мы пока только находим, где функция возрастает/убывает/наибольшая/наименьшая и прочь. Как связать производную с этим?

[PAV]

Лично я считаю, что физическая интерпретация как скорость ясности не добавит. Геометрический угол наклона касательной - это самое то что надо.

[JMH]

ZARATUSTRA в сообщении #566011 писал(а):

...функция возрастает/убывает/наибольшая/наименьшая и прочь. Как связать производную с этим?

Очень просто: если мгновенная скорость больше нуля, то функция возрастает, если меньше - то убывает, а если равна нулю, то имеет экстремум (т.е., в свете объяснения ewert'а, это не просто скорость, а скорость в данной точке).
В смысле угла наклона касательной тоже получается наглядно: из геометрических соображений видно, что положительная производная соответствует углу от 0 до 90 градусов (не включительно), а отрицательная - от 90 до 180 градусов (тоже не включительно), т.о. функция возрастает или убывает, соответственно.

[Keter]

Что такое производная в данной точке $A$:
1)для простоты начертите параболу $y=x^2$, её производная $y'=2x$;
2)возьмите точку $A$ на положительной части параболы, т.е. справа от нуля,
3)теперь через эту точку прочертите касательную к параболе и
4)обозначьте точку пересечения касательной с осью $OX$ как $B$;
5)теперь опустите перпендикуляр $AC$ из точки $A$ на ось $OX$;
6)Вы должны наблюдать прямоугольный треугольник $ABC$;
7)обозначьте угол $\angle ABC = \alpha$;
8)так вот производная в точке $A$, т.е. $y'=2x=2 A$ будет тангенсом $\alpha$.

$y'=\tg \alpha$, иначе говоря производная - это тангенс угла наклона касательной,
ведь косательная - это по сути прямая, т.е. имеет формулу $y=kx+b$, а $k - $ это и есть $\tg \alpha$.

[LaTeXScience]

PAV в сообщении #566017 писал(а):

Лично я считаю, что физическая интерпретация как скорость ясности не добавит. Геометрический угол наклона касательной - это самое то что надо.

Тангенс забыли.

[Keter]

Теперь другое значение производной. Допустим нам нужно узнать максимальные и минимальные точки данной функции, если известна её производная.

Тут главное понимать, что точки минимума и максимума функции совпадают с точками перемены знака её производной.

Пусть имеется какая-то функция $f(x)$ - главное непрерывная, иначе производной не будет.
И её производная $f'(x)=x^2-1=(x-1)(x+1)$.
Находим нули производной: $x=-1; x=1$.
Теперь смотрим, что производная на промежутке $(- \infty; -1)$ положительна, $(-1; 1)$ - отрицательна; $(1; \infty)$ - снова положительна.
Для себя можете начертить такой рисунок:


Т.е. Вы должны знать, что когда производная меняет знак с плюса на минус, то эта точка(в данном случае -1) будет максимумом данной функции,
а, соответственно, с минуса на плюс - минимумом(т.е. 1), если говорить точнее, то это точки экстремума данной нам функции.
Можно даже по стрелочкам смотреть, они как бы ломаную образуют, у которой верхняя точка есть и нижняя, соответственно максимум и минимум.

Для наглядности, данная нам функция выглядит вот так:

[ZARATUSTRA]

Огромное спасибо всем! Закреплю на практике задачами и будет великолепно!

[venja]

ZARATUSTRA в сообщении #565956 писал(а):

Здравствуйте. В школе проходим производную. Это, пожалуй, единственная тема в школьной программе, по котором мне не 10 баллов. Дело в том, что я себя чувствую неуверенно, если знаю, скажем, только формулы, но сущность темы не понимаю. Так дело и с производной. Формулы есть - решаем. НО. Я чувствую себя очень(!) неуверенно, ибо не могу понять, что это такое. В школе особо и не объясняли, а только дали формулы. Читал и в википедии, и в различных книжках, но там написано скорее для студентов, ибо мне трудно понять.
Может кто-нибудь объяснить, что есть производная и как её можно применять на графиках и функциях, чтобы было понятно школьнику(!в этом и сложность: объяснить, чтобы было понятно школьнику!).
Благодарю за любую помощь.

P.S. Если не в том разделе разместил, то прошу модераторов переместить. Спасибо.

Как я ностальгирую по таким школьникам и абитуриентам!

-- Вт май 01, 2012 11:20:43 --

PAV в сообщении #566017 писал(а):

Лично я считаю, что физическая интерпретация как скорость ясности не добавит. Геометрический угол наклона касательной - это самое то что надо.

Это действительно именно то, что надо. Из этого НАГЛЯДНО следует и применение производной для исследования функций (участки возрастания-убывания, максимумы-минимумы, направление выпуклости графика). Именно на этом уровне приходится обосновывать применение производной для указанного исследования и ВУЗах для студентов-нематематиков из-за отмечаемой мной ранее нехватки учебного времени.

[miflin]

PAV в сообщении #566017 писал(а):

Лично я считаю, что физическая интерпретация как скорость ясности не добавит.

Бабка надвое сказала...
Если не интересоваться такими вещами, как закон радиоактивного распада,
ток как производная от заряда по времени, закон электромагнитной
индукции, etc... - то может и не добавит.

Может я неверно толкую историю возникновения матана, но вроде-бы
Лейбница больше интересовала касательная, а Ньютона - скорость...

[Keter]

Зачем забивать голову физической интерпретацией? Этим на физике пусть занимаются. А тут геометрически понять достаточно на графиках. По моему, когда визуально представляешь, что ты делаешь, оно как-то легче.

[miflin]

Keter в сообщении #566104 писал(а):

Зачем забивать голову физической интерпретацией?

Я считаю, что физическая интерпретация, как минимум, не забивает голову.
Ещё неизвестно, кем станет ТС:
а) технарем (не вкладываю иронии);
б) физиком;
с) математиком.
Я перечислил в порядке уменьшения вероятности. Ничего личного к ТС,
но, судя по вопросу темы, пункт "с)" маловероятен. Поэтому, учитывая
"а)" и "б)", физическую интерпретацию негоже выплескивать из ванны.

[ZARATUSTRA]

miflin в сообщении #566113 писал(а):

Keter в сообщении #566104 писал(а):

Зачем забивать голову физической интерпретацией?

Я считаю, что физическая интерпретация, как минимум, не забивает голову.
Ещё неизвестно, кем станет ТС:
а) технарем (не вкладываю иронии);
б) физиком;
с) математиком.
Я перечислил в порядке уменьшения вероятности. Ничего личного к ТС,
но, судя по вопросу темы, пункт "с)" маловероятен. Поэтому, учитывая
"а)" и "б)", физическую интерпретацию негоже выплескивать из ванны.

Дело в том, что по физике нам производной вообще не давали, а по математике нам не объясняли, что это такое. Дали формулы и показали пару примеров. Учитель решил, что нам знать, что есть производная, не нужно. Хватит лишь зазубренных формул и их применения. Но меня это не устраивает.

Вот нашёл статью. Попробую тут еще разобраться. http://kvant.mccme.ru/1975/12/chto_tako ... odnaya.htm

[Padawan]

Keter в сообщении #566104 писал(а):

Зачем забивать голову физической интерпретацией? Этим на физике пусть занимаются.

Совершенно не правильный подход. Школьный математический анализ должен использоваться в школьной физике по максимуму, это идет на пользу обоим предметам. А иначе зачем анализ вообще нужен? Экономические примеры тоже неплохо приводить.

-- Вт май 01, 2012 15:05:40 --

В физике же еще до всяких производных используются формулы $I=\frac{\Delta q}{\Delta t}$, $v=\frac{\Delta s}{\Delta t}$ и т.д. А от них до производной рукой подать.