Упражнение (Васильев Введение в топологию, стр. 11)

[Sonic86]

Васильев Введение в топологию, стр. 11
Пусть $B^n$ - $n$-мерный диск (шар) с границей $S^{n-1}$. Тогда $B^n/S^{n-1}$ гомеоморфно $S^n$.
Не понимаю Шар $B^n$ радиуса $R$ расслаивается на сферы $S^{n-1}$ (точки $B^n$ эквивалентны, если они равноудалены от центра шара) - каждая сфера определяется радиусом $r:0\leqslant r\leqslant R$ - получаем в качестве фактора отрезок $[0;R]$ - никак не $S^n$.
Где ошибка? Я неправильно строю фактор?

[Padawan]

Sonic86
Нет, не правильно. Надо границу шара $\partial B^n=S^{n-1}$ стянуть в точку.

[FFFF]

Здесь, похоже, под $B^n/S^{n-1}$ имеется ввиду следующий фактор - подпространство $S^{n-1} \subset B^n$ стягивается в точку. Тогда утверждение верное, при $n=2$ легко представить.

-- 30.04.2012, 22:11 --

опередили=)

[Sonic86]

Padawan в сообщении #565990 писал(а):

Нет, не правильно. Надо границу шара $\partial B^n=S^{n-1}$ стянуть в точку.

Не, не понял, стянуть вместе со всем шаром? Или каждую следующую границу стянуть в точку фактора? Или стянуть только границу, а внутренность шара оставить в покое?

[FFFF]

Sonic86
Стянуть только границу, а внутренность шара оставить на месте.

[Sonic86]

Sonic86 в сообщении #565998 писал(а):

Или стянуть только границу, а внутренность шара оставить в покое?

FFFF писал(а):

Sonic86
Стянуть только границу, а внутренность шара оставить на месте.

Блин, точно! А почему фактор так криво описывается?

Т.е. при $n=2$ фактор - это открытый круг с одной точкой на границе. При $n=3$ - открытый шар с точкой на границе и т.п.

[lena7]

В книжке "Элементарная топология" Виро и др. указано, как следует интерпретировать различные обозначения факторов, если мы находимся в топологии.

В моём издании это $\S\,$22.2.

[Sonic86]

lena7 в сообщении #566003 писал(а):

В книжке "Элементарная топология" Виро и др. указано, как следует интерпретировать различные обозначения факторов, если мы сейчас в топологии.

Ооо, спасибо, скачаю А какие еще книжки для начинающего (но знакомого с матаном) посоветуете?

[FFFF]

Если писать строго, то получается громоздко: нужно описать разбиение шара, которое состоит из одноточечных подмножеств внутренности и границы шара. Тогда при факторизации, точки внутренности "останутся собой", а граница "стянется" в точку.

-- 30.04.2012, 22:21 --

"Элементарная топология" - супер-классная книжка, здесь ещё что-то рекомендовали topic56086.html

[Sonic86]

FFFF в сообщении #566005 писал(а):

Если писать строго, то получается громоздко: нужно описать разбиение шара, которое состоит из одноточечных подмножеств внутренности и границы шара.

Ну да, понятно, что отсюда все следует, просто какая-то странная топология...
И за ссылку спасибо И за то, что помогли разобраться...

[apriv]

Давайте шар $B^n=\{x\in\mathbb R^n\mid |x|\leq 1\}$ сначала вложим в $\mathbb R^{n+1}$ посредством $x\mapsto (x,0)$, потом применим гомеоморфизм $(x,0)\mapsto (x,\sqrt{1-|x|})$ и попадем в половинку сферы $S^{n}$ или, что то же самое, в конус над $S^{n-1}$. Граница шара после этого превратится как раз в точки вида $(*,0)$. Если стянуть ее в точку — получится надстройка над $S^{n-1}$, то есть, $S^n$.

[Someone]

Sonic86 в сообщении #566001 писал(а):

Т.е. при $n=2$ фактор - это открытый круг с одной точкой на границе. При $n=3$ - открытый шар с точкой на границе и т.п.

При $n=2$ - двумерная сфера $S^2$. При $n=3$ - трёхмерная сфера $S^3$. Надеюсь, Вы умеете отличать двумерную сферу от открытого круга с одной точкой на границе?

[Sonic86]

Someone в сообщении #566115 писал(а):

При $n=2$ - двумерная сфера $S^2$. При $n=3$ - трёхмерная сфера $S^3$. Надеюсь, Вы умеете отличать двумерную сферу от открытого круга с одной точкой на границе?

Ну да, но ведь они гомеоморфны, мне ведь это надо доказать? При $n=2$ фактор - это 2-мерный круг с точкой на границе, он гомеоморфен плоскости с одной бесконечно удаленной точкой, а та с помощью стереографической проекции гомеоморфна двумерной сфере. Ну или сразу: ставим 2-мерную сферу на круг и кругом обтягиваем сферу, кроме верхней точки, а в верхнюю точку уже переходит точка, которая касалась круга, в которую перешла $\partial B^n$. Т.е. все правильно. Для $n>2$ аналогично.

-- Вт май 01, 2012 08:14:02 --

apriv в сообщении #566029 писал(а):

Давайте шар $B^n=\{x\in\mathbb R^n\mid |x|\leq 1\}$ сначала вложим в $\mathbb R^{n+1}$ посредством $x\mapsto (x,0)$, потом применим гомеоморфизм $(x,0)\mapsto (x,\sqrt{1-|x|})$ и попадем в половинку сферы $S^{n}$ или, что то же самое, в конус над $S^{n-1}$. Граница шара после этого превратится как раз в точки вида $(*,0)$. Если стянуть ее в точку — получится надстройка над $S^{n-1}$, то есть, $S^n$.

О! Вот теперь понял, что Вы делаете! Спасибо!

[lena7]

Sonic86 в сообщении #566122 писал(а):

Ну да, но ведь они гомеоморфны

Нет. При гомеоморфизме близкие точки должны переходить в близкие.

[Sonic86]

(Оффтоп)

Ведь я же уже все понял...

lena7 в сообщении #566128 писал(а):

Нет. При гомеоморфизме близкие точки должны переходить в близкие.

Не, не понимаю. На факторе $B^n/S^{n-1}$ топология индуцируется из топологии $B^n$ и потому получается неестественной в обычном смысле: во внутренности шара $B^n\setminus\partial B^n$ топология обычная, а отдельная точка, касающаяся границы (в которую стягивается граница) близка ко всем точкам шара, близким к его границе (даже явно расстояние можно найти: $R-r$). И тогда все нормально - гомеоморфизм.