Загадочное касание (Бауманка)

[Ktina]

Существует ли решение дифура $y''=xy$, которое касается оси абсцисс, но не совпадает с ней?

[ewert]

Нет, разумеется.

[Padawan]

Наверное, это надо без теоремы существования и единственности вывести.

-- Пн апр 30, 2012 18:02:49 --

Надо сконструировать некое выражени $F(x,y,y')$, производная которого $\frac{dF}{dx}$ в силу уравнения равна тождественно нулю, $F(x,0,0)=0$, и если $F(x,y,y')=0$, то $y=y'=0$. Эта функция должна быть аналогом полной энергии системы.

[ewert]

Padawan в сообщении #565844 писал(а):

Наверное, это надо без теоремы существования и единственности вывести.

Т.е. надо доказать единственность решения, не прибегая к теореме о единственности решения?...

Этот вопрос даже для линейных уравнений вовсе не так тривиален. И даже конкретно для уравнения Эйри. И уж тем более нелеп, что любой, кто вообще что-то знает о дифференциальных уравнениях -- заведомо знает и эту теорему.

[Padawan]

ewert
Я встречался с подобным доказательством (примерно, как я описал) того, что уравнение $y''+y=0$ имеет только решения $C_1\cos x+C_2\sin x$.

[ewert]

С каким "подобным" -- со ссылкой на теормех?...

Это нелепо: в теормехе теорема существования и единственности попросту подразумевается. А доказывается эта теорема только через итерации интегральных уравнений и никак иначе, ну или как-нибудь совсем уж извратительно. Даже для простейших уравнений.

[Padawan]

ewert в сообщении #565851 писал(а):

С каким "подобным" -- со ссылкой на теормех?...

Нет, все математически строго. Термех -- лишь интерпретация, позволяющая понять, откуда берется эта функция $F$, и почему её производная должна быть равна нулю. Про термех можно вообще не вспоминать.

[ewert]

Padawan в сообщении #565853 писал(а):

Нет, все математически строго.

Как?... Как Вы собираетесь обойти итерирование?...

Набросайте доказательство хотя бы только для синусов с косинусами.

Впрочем, нелепости задачи это всё равно не отменит: понятие производной в силу уравнения -- в любом случае более позднее, чем теорема существования и единственности.

[Padawan]

Теорема. Уравнение $y''=-y$ с начальными условиями $y(x_0)=0, y'(x_0)=0$ имеет единственное решение $y(x)\equiv 0$.
Доказательство. Пусть $y(x)$ -- решение. Рассмотрим функцию $F(x)=y(x)^2+y'(x)^2$. Тогда из уравнения следует, что $F'(x)\equiv 0$. Следовательно $F(x)\equiv \mathrm{const}$. Так как $F(x_0)=0$, то $F(x)\equiv 0$, т.е. $y(x)^2+y'(x)^2\equiv 0$, т.е. $y(x)\equiv 0$.

Следствие. Уравнение $y''=-y$ имеет только решения $C_1 \sin x+C_2\cos x$.
Доказательство. Подбором констант можно удовлетворить любым начальным условиям. Пусть $y(x)$ и $y_1(x)=C_1\sin x+C_2\cos x$ -- два решения, удовлетворяющих заданным начальным условиям, тогда функция $u(x)=y(x)-y_1(x)$ удовлетворяет уравнению $u''=-u$ с нулевыми начальными условиями. По доказанному $u(x)\equiv 0$.

[ewert]

Padawan в сообщении #565859 писал(а):

Рассмотрим функцию $F(x)=y(x)^2+y'(x)^2$.

да, я уже понял. Но ведь это потому, что решение мы заранее знаем (и поэтому такая функция с самого начала даёт синусы с косинусами, даже безо всяких следствий).

Но поди ещё угадай что-нибудь для уравнения Эйри. Я вот не в состоянии -- в первую очередь потому, что бессмысленно. Это ж пыхти, червей скрещивай, вместо того, чтоб применить заранее готовый результат. Притом идейный для поставленной задачки.

[Padawan]

ewert в сообщении #565916 писал(а):

да, я уже понял. Но ведь это потому, что решение мы заранее знаем (и поэтому такая функция с самого начала даёт синусы с косинусами, даже безо всяких следствий).

Почему поэтому? По основному тригонометрическому тождеству? Я про него и не думал, я про механическую интерпретацию думал. Для данной задачи можно попробовать взять $F$ в виде положительно определенной квадратичной формы $F(x,y,y')=a(x)y^2+2b(x)yy'+c(x)y'^2$. Авось что-нибудь получится.

-- Пн апр 30, 2012 21:02:22 --

ewert в сообщении #565916 писал(а):

Это ж пыхти, червей скрещивай, вместо того, чтоб применить заранее готовый результат. Притом идейный для поставленной задачки.

Тут я с Вами полностью согласен. Можно сказать, что задача высосана из пальца.

[Ktina]

Padawan в сообщении #565918 писал(а):

Можно сказать, что задача высосана из пальца.

Во всяком случае, не из моего.
Задача потыбрена вот отсюда:
http://www.baumo.narod.ru/ZadachiResh.pdf
(задача 7 за 2007-ой год)

[Padawan]

Цитата:

Решение. Доказываем от противного. Пусть есть решение $y(x)\not\equiv 0$, график которого касается $Ox$. Тогда в точке касания $x_0$ имеем $y(x_0)=y'(x_0)=0$. Эти условия определяют единственное решение задачи Коши, однако таким решением является также $y\equiv 0$.