Уравнение

[spaits]

Ramos в сообщении #523456 писал(а):

Ну я возвёл и у меня получилось: $16x^6-24x^4+10x^2-1=0$
ОДЗ: $\Big[\dfrac{-\sqrt 3}{2},\dfrac{\sqrt 3}{2} \Big]\cup \{1\}$

Да, это не ОДЗ исходного уравнения, а если считать, что это условие, при котором исходное уравнение равносильно полученному после возведения в квадрат, то оно найдено неверно. Решите еще раз неравенство $4x^3-3x\geqslant0$. С учетом ОДЗ $x\in[-1;1]$ (его все же стоит принять во внимание, чтобы упростить решение) получаем условие равносильности уравнений: $x\in[-1;0]$.
Сделаем замену $y=x^2$, получим кубическое уравнение $16y^3-24y^2+10y-1=0$, при этом необходимое условие: $y\in[0;1]$. Один корень, как уже говорили, $y=\frac12$, после этого левая часть уравнения разлагается на множители: $(2y-1)(8y^2-8y+1)=0$. Итак, в указанном интервале имеем три корня кубического уравнения: $y_1=\frac12$, $y_2=\frac{2-\sqrt2}{4}$, $y_3=\frac{2+\sqrt2}{4}$.
Осталось перейти к $x$, с учетом того, что $x\in[-1;0]$.
$x_1=-\frac{1}{\sqrt2}$. Этот корень проверила подстановкой в исходное уравнение.

-- Пт янв 06, 2012 00:46:25 --

Два других корня также проверила. Они корни исходного уравнения.
$x_2=-\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}$.
$x_3=-\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}$.

-- Пт янв 06, 2012 01:08:16 --

Я не привела подробного решения системы неравенств: $4x^3-x\geqslant0$; $x\in[-1;1]$. Прошу топикстартера разобраться с этим самостоятельно, так как именно неясности с определением равносильности уравнений после возведения в квадрат и стали причиной ошибок при решении.

[myra_panama]

а если сделать тригонометрические подстановки , то будет очень легко решать...

[spaits]

myra_panama в сообщении #523701 писал(а):

а если сделать тригонометрические подстановки , то будет очень легко решать...

Да, но как учащийся потом вычислит $\sin(-\frac{\pi}{8})$ и другие синусы, если тригонометрия в школьной программе после многочленов?

[bot]

spaits в сообщении #523740 писал(а):

Да, но как учащийся потом вычислит и другие синусы

Очень просто - через уполовинивание аргумента, формулки такие в школе учат.

[mihailm]

(Оффтоп)

phys в сообщении #523631 писал(а):

mihailm
Обойдитесь без мозгов

Не понял грубит что ли phys мне или совсем в математике не сечет?

[Shadow]

ОДЗ с учетом неотрицательности правой части все же $[-\dfrac{\sqrt{3}}{2};0] \bigcup [\dfrac{\sqrt{3}}{2};1]$ Тогда
$x_3=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}$.

[myra_panama]

spaits в сообщении #523740 писал(а):

но как учащийся потом вычислит $\sin(-\frac{\pi}{8})$ и другие синусы,

А это просто легко...
$\sin{\frac{\pi}8}=\sqrt{\frac{1-\cos{\frac{\pi}4}}2}$

[spaits]

Shadow в сообщении #524157 писал(а):

ОДЗ с учетом неотрицательности правой части все же $[-\dfrac{\sqrt{3}}{2};0] \bigcup [\dfrac{\sqrt{3}}{2};1]$ Тогда
$x_3=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}$.

Да, ОДЗ с учетом неотрицательности правой части Вы нашли правильно, есть там положительный интервал, так как $\frac{\sqrt2}{2}\leqslant{1}$. У меня была ошибка, так как корень $x_3=- \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}$ найден неверно, он не входит в область, при которой левая часть уравнения положительна.
Верно у Вас: $x_3=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}$.
Спасибо за исправление ошибки.
Используя тригонометрическую подстановку, нужна такая же проверка корней.

-- Сб янв 07, 2012 11:02:49 --

myra_ panama в сообщении #524168 писал(а):

spaits в сообщении #523740 писал(а):

но как учащийся потом вычислит $\sin(-\frac{\pi}{8})$ и другие синусы,

$\sin{\frac{\pi}8}=\sqrt{\frac{1-\cos{\frac{\pi}4}}2}$[/math]

Совсем легко, найти и выбросить, так как найденное Вами значение не является корнем уравнения, ведь при подстановке правая часть уравнения отрицательна.


shadow, спасибо за исправление ошибки.

Итак, корни уравнения $\sqrt{1-x^2}=4x^3-3x$ такие:

$x_1=-\frac{1}{\sqrt2}$;
$x_2=-\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}$;
$x_3=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}$.

[myra_panama]

spaits в сообщении #524180 писал(а):

Совсем легко, найти и выбросить, так как найденное Вами значение не является корнем уравнения

Я не сказал что это корень вашего уравнения...
просто вы сказали что

spaits в сообщении #523740 писал(а):

и другие синусы, если тригонометрия в школьной программе после многочленов?

[spaits]

myra_panama в сообщении #524188 писал(а):

просто вы сказали что

Просто решите тригонометрической подстановкой до конца, легче будет, чем все как есть формулы переписывать.

[venja]

Ramos в сообщении #523449 писал(а):

Здравствуйте уважаемые друзья! Помогите пожалуйста решить уравнение!
Никак не получается:
$\sqrt{1-x^2}=4x^3-3x$

По-видимому, проще всего сразу тригонометрическая замена

$x=\sin {t}, t\in [-\pi/2,\pi/2]$,

Легко приводится к простому уравнению
$\sin {3t}+\cos{t}=0$