Уравнение

[Ramos]

Здравствуйте уважаемые друзья! Помогите пожалуйста решить уравнение!
Никак не получается:
$\sqrt{1-x^2}=4x^3-3x$

[maxmatem]

Ну возведите обе части в квадрат и учтите О.Д.З

[Ramos]

Ну я возвёл и у меня получилось: $16x^6-24x^4+10x^2-1=0$
ОДЗ: $\Big[\dfrac{-\sqrt 3}{2},\dfrac{\sqrt 3}{2} \Big]\cup \{1\}$

[svv]

$1-x^2=x^2(4x^2-3)^2$
Пусть $x^2=y$.
$1-y=y(4y-3)^2$
Здесь надо как-то заметить, что $y=1/2$ -- корень, это позволит свести к квадратному.

[Ramos]

а вдруг есть решения другие?

[Sonic86]

svv в сообщении #523461 писал(а):

$1-y=y(4y-3)^2$
Здесь надо как-то заметить, что $y=1/2$ -- корень

Для этого нужно просто сделать уравнение примитивным (старший член = 1), а далее кубическое уравнение имеет либо целый корень, либо страшный корень.

Ramos в сообщении #523462 писал(а):

а вдруг есть решения другие?

Вдруг не бывает. Кубическое уравнение в поле имеет не более 3-х корней по теореме Безу.

[Ramos]

Sonic86
я вас понял. Вот не имеется у нас целого корня, значит есть страшный корень.
Как его найти то?

[nnosipov]

Подсказка: $4x^3-3x$ --- это третий многочлен Чебышёва $T_3(x)$. Поэтому положим $x=\cos\phi$ ... Корни будут вполне симпатичными.

[Sonic86]

Ramos в сообщении #523465 писал(а):

я вас понял. Вот не имеется у нас целого корня, значит есть страшный корень.

Страшный корень у кубического уравнения ищется только по формуле Кардано (погуглите, либо в Куроше Алгебра прочтите), либо в форме тригонометрической подстановки, как nnosipov предлагает.

[mihailm]

Ramos в сообщении #523456 писал(а):

Ну я возвёл и у меня получилось: $16x^6-24x^4+10x^2-1=0$
ОДЗ: $\Big[\dfrac{-\sqrt 3}{2},\dfrac{\sqrt 3}{2} \Big]\cup \{1\}$

Найдена какая-то ерунда, а не ОДЗ
ОДЗ это те икс которые можно подставить в уравнение (неравенство) так что левая и правая часть имеют смысл, ВСЕ, ничего больше.

[Ramos]

В итоге ОДЗ: $\Big[-\dfrac{\sqrt 3}{2}, 0\Big]\cup\Big[\dfrac{\sqrt 3}{2}, 1\Big]$
Правильно найдено

[mihailm]

Ramos в сообщении #523556 писал(а):

В итоге ОДЗ: $\Big[-\dfrac{\sqrt 3}{2}, 0\Big]\cup\Big[\dfrac{\sqrt 3}{2}, 1\Big]$
Правильно найдено

обойдитесь без ОДЗ, ну его

[phys]

(Оффтоп)

mihailm
Обойдитесь без мозгов

[vvvv]

phys в сообщении #523631 писал(а):

(Оффтоп)

mihailm
Обойдитесь без мозгов

Во-первых, выше найдено не ОДЗ. ОДЗ (-1;1) - по определению множество значений переменной, при котором уравнение имеет смысл.
Во-вторых, решение уравнения сводится к кубическому, у которго есть рациональный корень 1/2, дальше все просто.

[Nemiroff]

Цитата:

mihailm
Обойдитесь без мозгов

Как некрасиво, здесь абсолютно не нужно находить ОДЗ - никакого нового условия вы от него не получите.
Уравнение эквивалентно себе, возведенному в квадрат плюс условие на не отрицательность правой части.